2020版高考数学一轮复习高考大题增分课4立体几何中的高考热点问题教学案理北师大版

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1、高考大题增分课[命题解读]　立体几何是高考的重要内容，从近五年全国卷高考试题来看，立体几何每年必考一道解答题，难度中等，主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，考查的热点是平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出三大能力：空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力与两大数学思想：转化化归思想、数形结合思想的考查．空间的平行与垂直及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，一般都可以建

2、立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．【例1】　(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD的夹角为45°，求二面角MABD的余弦值．[解]　(1)证明：如图，取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD．又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.又BF平面PAB，CE平面PAB，

3、故CE∥平面PAB．(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，

4、

5、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．设M(x，y，z)(0

6、cos〈，n〉

7、＝sin45°，即＝，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，设＝λ，则x＝λ，y＝1，z＝－λ.②由①②解得(舍去)，或所以M，从而＝.设m＝(x0，

8、y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m＝(0，－，2)．于是cos〈m，n〉＝＝.因此二面角MABD的余弦值为.[规律方法]　(1)证明空间线线、线面、面面的位置关系，常借助理论证明，必要时可依据题设条件添加辅助线．(2)求解空间角的问题，常借助坐标法，即建立恰当的坐标系，通过求解相应平面的法向量、直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解便可，但需注意向量夹角与待求角的区别与联系．(2018·北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；

9、(2)求二面角BCDC1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．[解]　(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.因为AB＝BC，所以AC⊥BE.所以AC⊥平面BEF.(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC.因为BE平面ABC，所以EF⊥BE.如图，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0,2,0)，C(－1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)．所以＝(－1，－2,0)，＝(1，－2

10、,1)．设平面BCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则即令y0＝－1，则x0＝2，z0＝－4.于是n＝(2，－1，－4)．又因为平面CC1D的法向量为＝(0,2,0)，所以cos〈n，〉＝＝－.由题知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为－.(3)证明：由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，＝(0,2，－1)．因为n·＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0，所以直线FG与平面BCD相交．立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线面平行与垂直位置关系的探索或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种考查形式：(1)根据条件作出判断，

11、再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在．【例2】　(2016·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD夹角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．[解]　(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥