关于矩阵秩_不_等式的分块矩阵构造证明

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1、Vol111,No13高等数学研究May,2008STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS11*关于矩阵秩(不)等式的分块矩阵构造证明王廷明(青岛大学师范学院数学系山东青岛266071)摘要利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式.关键词矩阵的秩;分块矩阵;(不)等式;广义初等变换中图分类号O151121矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征,建立并证明矩阵秩的(不)等式是矩阵秩问题讨论的[1]-[3]一个重要方面.本文利用由矩阵秩的(不)等式中的某些矩阵构造的一个分块矩阵,通过分块矩阵的广义初等变换证明矩阵秩的(不)等式.

2、在本文中,设F为一般的数域,In表示n阶单位矩阵,r(M)表示矩阵M的秩.首先,关于分块矩阵的秩,下列结论是基本的.定理1分块矩阵的下列结论成立:m@n(1)设AiIFii,i=1,2,,,t.则tmax{r(A1),r(A2),,,r(At)}Fr(A1,A2,,,At)FEr(Ai)i=1m@n(2)设AiiiIF,i=1,2,,,t,tE2.则A10tA2r=Er(Ai)wi=10Atm@n定理2设AiIFii,i=1,2,,,t,tE2.则A1*ttA2Er(Ai)FrFminr(Ai)+Emji=1,2,,,ti=1wj=1jXi0At证明对t用数

3、学归纳法证明左侧不等式.当t=2时,令r(A1)=r1,则存在可逆矩阵P,Q,使Ir01PA1Q=00故Ir01P0A1BQ0PA1QPBPB==000Im0A20In0A2220A2*收稿日期:2003-12-0112高等数学研究2008年5月B1令PB=,其中B1,B2分别为r1@n2阶和(m1-r1)@n2阶矩阵.从而B2Ir0B1Ir001100B2y00B20A20A2故Ir10A1B0B2r=r0B2=r1+rEr(A1)+r(A2)0A200A20A2归纳假设结论对t-1成立.则A1*A1*tA2rErw+r(At)EEr(Ai)wi=10At

4、-10At从而左侧不等式成立.对右侧不等式,由Im0A1*1A1*wwA2=AiIniwww0Ak0Imt0At故Im01A1*wtA2rFrAi=r(Ai)+Emj,i=1,2,,twj=1jXiw0Ak0Imt从而结论成立.A10tSA2对形如Er(Ai)Err(Bj)的矩阵秩的不等式,可以构造分块矩阵M=,i=1J=1w0Ak第11卷第3期王廷明:关于矩阵秩(不)等式的分块矩阵构造证明13B1*B2对M进行广义初等变换,化为,则由定理2可得w0BsB1*tBs2rr(Ai)=r(M)=rEEr(Bj)i=1wj=10Bs下面举例说明上述方法的应用.例1

5、设矩阵Am@n,Bn@s,Cs@t.证明矩阵秩的Frobenius不等式:r(ABC)Er(AB)+r(BC)-r(B)(1)B0证明显然(1)等价于r(B)+r(ABC)Er(AB)+r(BC),故令M=.对M进行0ABC广义初等变换:B0B0B-BCBCByyy0ABCABABCAB00AB故BCBr(B)+r(ABC)=r(M)=rEr(AB)+r(BC)0AB移项可得(1)成立.例2设Am@n.则r(Im-AAc)-r(In-AcA)=m-n(2)Im-AAc0证明由于(2)等价于r(Im-AAc)+n=r(In-AcA)+m,故令M=.对0InM进

6、行广义初等变换:Im-AAc0Im-AAcAImAImoImoM=yyyy0In0InAcInAcIn-AcA0In-AcA故Im-AAc0Imor(M)=r=r(Im-AAc)+n=r=r(In-AAc)+m0In0In-AcA移项可得(2)成立.对某些矩阵秩的不等式,也可以先将上述矩阵M通过广义初等变换化为矩阵G,再构造分块矩阵K进行过渡,并对KG进行广义初等变换,即14高等数学研究2008年5月B1*B2KGyw0BsB1*tsB2则Er(Ai)=r(M)=r(G)Er(KG)=rEEr(Bj)i=1wj=10Bsn@n例3设A、BIF,且A、B可以交

7、换.则r(AB)Fr(A)+r(B)-r(A+B)(3)证明由于(3)等价于r(A)+r(B)Er(AB)+r(A+B),故由A0ABA+BBM=yy0B0BBB及AB=BA,则In0A+BBA+BIn=B-(A+B)BB0-AB故A+BBA+BInr(A)+r(B)=r(M)=rErEr(AB)+r(A+B)BB0-AB移项可得(3)成立.另外,还可以通过构造分块矩阵与矩阵秩的基本性质相结合的方法对矩阵秩的某些(不)等式进行证明.n@n例4设A,B,CIF且r(C)=n,A(BA+C)=0.则r(BA+C)=n-r(A)(4)证明由A(BA+C)=0及矩阵

8、秩的基本性质得r(A)+r(BA+C)Fn.又由r(