高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十二)数列的综合问题文苏教版

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1、课时跟踪检测(三十二)数列的综合问题1.已知各项都不小于1的数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+1,从数列{bn}中抽取部分项b1,b9,bn3,bn4,…,bnk,…,按从小到大的顺序构成等比数列.①求{nk}的通项公式;②记ck=数列{ck}的前k项和是Tk,求证:Tk<.解:(1)由an=-2,移项并平方得(an+2)2=a+4an+4=6Sn+3n,则a+4an-1+4=6Sn-1+3(n-1),n≥2,两式相减得,a-a+4an-4an-1=6an+3,

2、n≥2,即a-2an+1=a+4an-1+4,n≥2,即(an-1)2=(an-1+2)2,n≥2.又an≥1,所以an-1=an-1+2,n≥2,即an-an-1=3,n≥2,又a1+2=,所以a-2a1+1=0,解得a1=1,所以数列{an}是首项为1,公差为3的等差数列,故an=1+3(n-1)=3n-2.(2)①由bn=+1,得b1=2,b9=6,故等比数列的首项为2,公比为3,则bnk=2×3k-1=+1.化简得nk=4×32k-3-4×3k-2+1.②证明:由题意可得T1=<,T2=+=<,当k≥3,k∈N*时

3、,ck====.则Tk=c1+c2+…+ck=+=+=-×<,综上,Tk<.2.设数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,若对任意的n∈N*,均有Sn=an+k-k(k是常数且k∈N*)成立,则称数列{an}为“P(k)数列”.(1)若数列{an}为“P(1)数列”,求数列{an}的通项公式;(2)是否存在数列{an}既是“P(k)数列”,也是“P(k+2)数列”?若存在,求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若数列{an}为“P(2)数列”,a2=2,设Tn=+++…+,证明:T

4、n<3.解:(1)数列{an}为“P(1)数列”,则Sn=an+1-1,所以Sn+1=an+2-1,两式相减得,an+2=2an+1,又n=1时,a1=a2-1=1,所以a2=2,故an+1=2an对任意的n∈N*恒成立,即=2,所以数列{an}为等比数列,其通项公式为an=2n-1,n∈N*.(2)假设存在这样的数列{an},由{an}是“P(k)数列”可得,Sn=an+k-k,故有Sn+1=an+k+1-k,两式相减得,an+1=an+k+1-an+k,则有an+3=an+k+3-an+k+2.同理,由{an}是“P(

5、k+2)数列”可得,an+1=an+k+3-an+k+2,所以an+1=an+3对任意的n∈N*恒成立,所以Sn=an+k-k=an+k+2-k=Sn+2,即Sn=Sn+2.①又Sn=an+k+2-k-2=Sn+2-2,即Sn+2-Sn=2.②①②两式矛盾,故不存在数列{an}既是“P(k)数列”,也是“P(k+2)数列”.(3)证明:因为数列{an}为“P(2)数列”,所以Sn=an+2-2,所以Sn+1=an+3-2,两式相减得,an+1=an+3-an+2,又n=1时,a1=a3-2=1,故a3=3,又a2=2,满足

6、a3=a2+a1,所以an+2=an+1+an对任意的n∈N*恒成立,所以数列{an}的前几项为1,2,3,5,8,故Tn=+++…+=+++++…+,③当n=1时,T1==<3,当n=2时,T2=+=1<3,当n≥3时,Tn=++++…++,④由③④得,Tn=++++…+-=++++…+-=+Tn-2-,显然Tn-2<Tn,>0,故Tn<+Tn,即Tn<3.综上,Tn<3.3.已知数列{an}的前n项和Sn满足:(t-1)Sn-tan+t=0(t为常数,且t≠0,t≠1,n∈N*).(1)设bn=an(an+Sn),若数

7、列{bn}为等比数列,求t的值;(2)当t>1时,记cn=,Tn是数列{cn}的前n项和,求证:Tn<;(3)当t=5时,是否存在整数对(m,n)(其中m∈Z,n∈N*)满足a-(4+m)an+7m+15=0?若存在,求出所有满足题意的整数对(m,n);若不存在,请说明理由.解:(1)当n=1时,(t-1)S1-ta1+t=0,得a1=t.当n≥2时,由(1-t)Sn=-tan+t,①得(1-t)Sn-1=-tan-1+t,②①-②,得(1-t)an=-tan+tan-1,即an=tan-1,∴=t(n≥2),∴数列{an

8、}是等比数列,且公比是t,∴an=tn.由bn=an(an+Sn)知,bn=(tn)2+·tn=.若数列{bn}为等比数列,则有b=b1·b3,而b1=2t2,b2=t3(2t+1),b3=t4(2t2+t+1),故[t3(2t+1)]2=2t2·t4(2t2+t+1),解得t=,将t=代入bn,得bn

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