2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版课时跟踪检测（三十二） 数列的综合问题 含解析

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1、课时跟踪检测（三十二）数列的综合问题1．已知各项都不小于1的数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋1，从数列{bn}中抽取部分项b1，b9，bn3，bn4，…，bnk，…，按从小到大的顺序构成等比数列．①求{nk}的通项公式；②记ck＝数列{ck}的前k项和是Tk，求证：Tk＜.解：(1)由an＝－2，移项并平方得(an＋2)2＝a＋4an＋4＝6Sn＋3n，则a＋4an－1＋4＝6Sn－1＋3(n－1)，n≥2，两式相减得，a－a＋4an－4an－1＝6an＋3，n≥2，即a－

2、2an＋1＝a＋4an－1＋4，n≥2，即(an－1)2＝(an－1＋2)2，n≥2.又an≥1，所以an－1＝an－1＋2，n≥2，即an－an－1＝3，n≥2，又a1＋2＝，所以a－2a1＋1＝0，解得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，故an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)①由bn＝＋1，得b1＝2，b9＝6，故等比数列的首项为2，公比为3，则bnk＝2×3k－1＝＋1.化简得nk＝4×32k－3－4×3k－2＋1.②证明：由题意可得T1＝＜，T2＝＋＝＜，当k≥3，k∈N*时，ck＝＝＝＝.则Tk＝c1

3、＋c2＋…＋ck＝＋＝＋＝－×＜，综上，Tk＜.2．设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”．(1)若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式；(2)是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；(3)若数列{an}为“P(2)数列”，a2＝2，设Tn＝＋＋＋…＋，证明：Tn＜3.解：(1)数列{an}为“P(1)

4、数列”，则Sn＝an＋1－1，所以Sn＋1＝an＋2－1，两式相减得，an＋2＝2an＋1，又n＝1时，a1＝a2－1＝1，所以a2＝2，故an＋1＝2an对任意的n∈N*恒成立，即＝2，所以数列{an}为等比数列，其通项公式为an＝2n－1，n∈N*.(2)假设存在这样的数列{an}，由{an}是“P(k)数列”可得，Sn＝an＋k－k，故有Sn＋1＝an＋k＋1－k，两式相减得，an＋1＝an＋k＋1－an＋k，则有an＋3＝an＋k＋3－an＋k＋2.同理，由{an}是“P(k＋2)数列”可得，an＋1＝an＋k＋3－an＋k＋2

5、，所以an＋1＝an＋3对任意的n∈N*恒成立，所以Sn＝an＋k－k＝an＋k＋2－k＝Sn＋2，即Sn＝Sn＋2.①又Sn＝an＋k＋2－k－2＝Sn＋2－2，即Sn＋2－Sn＝2.②①②两式矛盾，故不存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”．(3)证明：因为数列{an}为“P(2)数列”，所以Sn＝an＋2－2，所以Sn＋1＝an＋3－2，两式相减得，an＋1＝an＋3－an＋2，又n＝1时，a1＝a3－2＝1，故a3＝3，又a2＝2，满足a3＝a2＋a1，所以an＋2＝an＋1＋an对任意的n∈N*恒成立，

6、所以数列{an}的前几项为1,2,3,5,8，故Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋…＋，③当n＝1时，T1＝＝＜3，当n＝2时，T2＝＋＝1＜3，当n≥3时，Tn＝＋＋＋＋…＋＋，④由③④得，Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋＋＋＋…＋－＝＋Tn－2－，显然Tn－2＜Tn，＞0，故Tn＜＋Tn，即Tn＜3.综上，Tn＜3.3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：(t－1)Sn－tan＋t＝0(t为常数，且t≠0，t≠1，n∈N*)．(1)设bn＝an(an＋Sn)，若数列{bn}为等比数列，求t的值；(2)当t＞1时，记cn＝，Tn是数列{cn}的前n

7、项和，求证：Tn＜；(3)当t＝5时，是否存在整数对(m，n)(其中m∈Z，n∈N*)满足a－(4＋m)an＋7m＋15＝0？若存在，求出所有满足题意的整数对(m，n)；若不存在，请说明理由．解：(1)当n＝1时，(t－1)S1－ta1＋t＝0，得a1＝t.当n≥2时，由(1－t)Sn＝－tan＋t，①得(1－t)Sn－1＝－tan－1＋t，②①－②，得(1－t)an＝－tan＋tan－1，即an＝tan－1，∴＝t(n≥2)，∴数列{an}是等比数列，且公比是t，∴an＝tn.由bn＝an(an＋Sn)知，bn＝(tn)2＋·tn＝.

8、若数列{bn}为等比数列，则有b＝b1·b3，而b1＝2t2，b2＝t3(2t＋1)，b3＝t4(2t2＋t＋1)，故[t3(2t＋1)]2＝2t2·t4(2t2＋t＋1)，解得t＝，将t＝代入bn，得bn