高考数学总复习不等式选讲课时作业75理选修_5

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1、课时作业75　不等式的证明1．(2019·河北五个一名校联考)已知函数f(x)＝

2、2x－1

3、，x∈R.(1)解不等式f(x)<

4、x

5、＋1；(2)若对x，y∈R，有

6、x－y－1

7、≤，

8、2y＋1

9、≤，求证：f(x)<1.解：(1)∵f(x)<

10、x

11、＋1，∴

12、2x－1

13、<

14、x

15、＋1，即或或得≤x<2或0

16、x

17、＋1的解集为{x

18、0

19、2x－1

20、＝

21、2(x－y－1)＋(2y＋1)

22、≤

23、2(x－y－1)

24、＋

25、2y＋1

26、＝2

27、x－y－1

28、＋

29、2y＋1

30、≤2

31、×＋＝<1.2．已知x，y都是正实数，且x＋y≥2.(1)求x2＋y2的最小值；(2)求证：≤2和≤2至少有一个成立．解：(1)(x2＋y2)－＝＝≥0，当且仅当x＝y时等号成立，所以x2＋y2≥≥2，当x＝y＝1时，x2＋y2取得最小值，最小值为2.(2)证明：假设≤2和≤2都不成立，则有>2且>2，即1＋x>2y且1＋y>2x，两式相加，得2＋x＋y>2x＋2y，即x＋y<2，这与已知矛盾，因此≤2和≤2至少有一个成立．3．(2019·太原模拟)已知实数a，b满足a2＋4b2＝4.(1)求证：a≤2；

32、(2)若对任意的a，b∈R，

33、x＋1

34、－

35、x－3

36、≤ab恒成立，求实数x的取值范围．解：(1)证明：因为a2＋4b2＝4，所以a≤

37、a

38、·＝≤＝2.(2)由a2＋4b2＝4及a2＋4b2≥2＝4

39、ab

40、，可得

41、ab

42、≤1，所以ab≥－1，当且仅当a＝，b＝－或a＝－，b＝时取等号．因为对任意的a，b∈R，

43、x＋1

44、－

45、x－3

46、≤ab恒成立，所以

47、x＋1

48、－

49、x－3

50、≤－1.当x≤－1时，

51、x＋1

52、－

53、x－3

54、＝－4，不等式

55、x＋1

56、－

57、x－3

58、≤－1恒成立；当－1

59、x＋1

60、－

61、x－3

62、＝2x－

63、2，由得－1

64、x＋1

65、－

66、x－3

67、＝4，不等式

68、x＋1

69、－

70、x－3

71、≤－1不成立．综上可得，实数x的取值范围是{x

72、x≤}．4．(2019·广东中山模拟)已知函数f(x)＝x＋1＋

73、3－x

74、，x≥－1.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有或解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x

75、－1≤x≤4}．(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋

76、3－x

77、＝分析可得f(x)的最小值为

78、4，即n＝4，则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，∴2a＋b＝(2a＋b)＝≥＝，原不等式得证．5．(2019·山西晋中模拟)已知函数f(x)＝

79、x＋1

80、.(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.解：(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝

81、x－1

82、－

83、x－2

84、＝则－1≤f(x－2)－f(x－3)≤1，由于∃x0∈R，使不等

85、式

86、x0－1

87、－

88、x0－2

89、≥u成立，所以u≤1，即M＝{u

90、u≤1}．(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，b＝(b－1)＋1≥2>0(当且仅当b＝2时等号成立)，c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．6．(2019·广州综合测试)已知函数f(x)＝

91、2x＋1

92、＋

93、2x－1

94、，不

95、等式f(x)≤2的解集为M.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

96、a＋b

97、＋

98、a－b

99、≤1.解：(1)f(x)≤2，即

100、2x＋1

101、＋

102、2x－1

103、≤2，当x≤－时，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故x＝－；当－

104、－≤x≤}．(2)证明：证法一　当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得

105、a

106、≤，

107、b

108、≤.当(a＋b)(a－b)≥0

109、时，

110、a＋b

111、＋

112、a－b

113、＝

114、(a＋b)＋(a－b)

115、＝2

116、a

117、≤1，当(a＋b)(a－b)<0时，

118、a＋b

119、＋

120、a－b

121、＝

122、(a＋b)－(a－b)

123、＝2

124、b

125、≤1，所以

126、a＋b

127、＋

128、a－b

129、≤1.证法二　当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得

130、a

131、≤，

132、b

133、≤.(

134、a＋b

135、＋

136、a－b

137、)2＝2(a2＋b2)＋2

138、a2－b2

139、＝因为a2≤，b2≤，所以4a2≤1,4b2≤1.故(

140、a＋b

141、＋

142、a－b

143、)2≤1，所以

144、a＋b

145、＋