高考数学第三章导数及其应用第17讲导数与函数的极值、最值考点集训文

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1、第17讲　导数与函数的极值、最值考点集训　【p186】A组1．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在(a，b)内极大值点的个数为(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】若f(x)在(a，b)内可导，x0∈(a，b)，若在x0的左侧附近，有f′(x)>0，在x0的右侧附近，有f′(x)<0，则x＝x0为f(x)的极大值点，根据导函数f′(x)的图象可知，这样的点有两个，故选B.【答案】B2．函数f＝，则(　　)A．x＝e为函数f的极大值点B．x＝e为函数f的极小值点C．x＝为函数f的极大值点D．x＝为函数f的极小值点【

2、解析】f′＝(x>0)，当f′＝0时，x＝e，当x∈时，f′>0，函数f递增，当x∈时，f′<0，函数f递减，所以当x＝e时，f取得极大值，则x＝e为函数的极大值点，故选A.【答案】A3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)A．1－eB．－1C．－eD．0【解析】f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，即x＝1，在(0，e]上列表如下：x(0，1)1(1，e)ef′(x)＋0－f(x)增函数极大值－1减函数1－e由于f(e)＝1－e，而－1＞1－e，从而f(x)最大为f(1)＝－1.【答案】B4．若x＝1是函数f＝x3＋的一个极值点，则实数a＝__________

3、．【解析】f′＝3x2－，f′＝3－a＝0，得a＝3.经检验，符合题意．【答案】35．函数f＝lnx－2的最大值为__________．【解析】由题意得，f的定义域为，则f′＝－＝＝0x＝1，即f在上单调递增，在上单调递减，f在x＝1处有最大值，即f＝f＝－2.【答案】－26．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于__________．【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意，解得或当时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以f(x)在R上单调递增，此时f(x)在x＝1处并没有取得极值，

4、不符合要求，舍去；当时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，所以当－1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值10，符合要求，此时f(2)＝23＋4×22－11×2＋16＝18.【答案】187．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因为

5、f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．8．已知函数f(x)＝exc

6、osx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．【解析】(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈时，h′(x)≤0，所以h(x)在区间上单调递减．所以对任意x∈有h(x)≤h(0)＝0，即f′(x)≤0，所以函数f(x)在区间上单

7、调递减．因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.B组1．对任意的x∈R，函数f＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21D．a＝0或a＝21【解析】f′＝3x2＋2ax＋7a，对任意的x∈R，函数f＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点，只需Δ＝4a2－84a≤0，0≤a≤21，选A.【答案】A2．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都