奥赛例题及答案—递推法、类比法和估算法

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1、练习题七：递推法、类比法和估算法（一）递推法A1、如图6—6所示，一固定的斜面，倾角θ=45°，斜面长L=2.00米。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数μ=0.20，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。解析：因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解。设每次开始下滑时，小球距

2、档板为s，则由功能关系：μmgcosθ(s1+s2)=mg(s1－s2)sinθμmgcosθ(s2+s3)=mg(s2－s3)sinθ即有：==…==由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为∴在发生第11次碰撞过程中的路程：s=s1+2s2+2s3+…+2s11=2(s1+s2+s3+…+s11)－s1=2×－s1=10－12×()11=9.86mA2、小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n=2），求小球从下落到停止经过的总时间和通过的总路程。（g取1

3、0m/s2）解析：小球从h0高处落地时，速率v0==60m/s第一次跳起时和又落地时的速率v1=第二次跳起时和又落地时的速率v2=……第m次跳起时和又落地时的速率vm=每次跳起的高度依次为h1==，h2==，……，通过的总路程Σs=h0+2h1+2h2+…+2hm+…=h0+(1+++…++…)=h0+=h0=h0=300m经过的总时间为Σt=t0+t1+t2+…+tm+…=++…++…=［1+2+…+2()m+…］===18sA3、使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触，分开之后，小球获得电

4、量q。今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q。求小球可能获得的最大电量。解析：两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q1、Q2，由于两个导体球对地电压相等，故有=，即=，亦即==k所以Q=k(Q1+Q2)，k为常量，此式表明：带电（或不带电）的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k等于第一次带电量q与总电量Q的比值，即k=。根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量。设第1、2、…、n次接触后小球所带的电量分别为

5、q1、q2、…，有：q1=kQ=qq2=k(Q+q1)=q+kqq3=k(Q+q2)=kQ+kq2=q+kq+k2q……qn=k(Q+qn－1)=q+kq+k2q+…+kn－1q由于k＜1，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得：qn===即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为。A4、A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到

6、猎物？答案：练习题五：对称法第“B5”题A5、一个半径为1米的金属球，充电后的电势为U，把10个半径为1/9米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走，然后把这10个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为10米的圆周上，并拿走大金属球. 求圆心处的电势. （设整个过程中系统的总电量无泄漏）答案：0.065UA6、用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为h（h=）的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度

7、的比值。解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为：Δx1=第2块相对第3块的最大伸出量为Δx2（如图6—4所示），则：GΔx2=(－Δx2)G得：Δx2==同理可得第3块的最大伸出量：Δx3=……最后归纳得出：Δxn=所以总跨度：k=2=11.32h

8、跨度与桥孔高的比值为：==1.258A7、在如图6—11所示的电路中，S是一单刀双掷开关，A1和A2为两个平行板电容器，S掷向a时，A1获电荷电量为Q，当S再掷向b时，A2获电荷电量为q。问经过很多次S掷向a，再掷向b后，A2将获得多少电量？解析：S掷向a时，电源给A1充电，S再掷向b，A1给A2充电，在经过很多次重复的过程中，A2的带电量越来越多，两板间电压越来越大。当A2的电压等于电源电压时，A2的带电量将不