求导基本公式

《求导基本公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、导数公式及证明　　这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:　　1.y=c(c为常数)y'=0　　2.y=x^ny'=nx^(n-1)　　3.y=a^xy'=a^xlna　　y=e^xy'=e^x　　4.f(x)=logaXf'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)　　y=lnxy'=1/x　　5.y=sinxy'=cosx　　6.y=cosxy'=-sinx　　7.y=tanxy'=1/(cosx)^2　　8.y=cotxy'=-1/(sinx)^2　　9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2　　10.y=arccosxy'=-1/√1

2、-x^2　　11.y=arctanxy'=1/(1+x^2)　　12.y=arccotxy'=-1/(1+x^2)　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』　　2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/

3、⊿x=0。　　2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。　　3.y=a^x,　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x　　如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。　　所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β　　显然，当⊿

4、x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。　　可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。　　4.y=logax　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x　　因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，

5、所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有　　lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。　　可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。　　这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,　　所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。　　5.y=sinx　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)　　⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x

6、/2)/(⊿x/2)　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx　　6.类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。　　7.y=tanx=sinx/cosx　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x　　8.y=cotx=cosx/sinx　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x　　9.y=arcsinx　　x=siny　　x'=c

7、osy　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2　　10.y=arccosx　　x=cosy　　x'=-siny　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2　　11.y=arctanx　　x=tany　　x'=1/cos^2y　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2　　12.y=arccotx　　x=coty　　x'=-1/sin^2y　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2　　另外在对双曲函

8、数shx,chx,thx