2018版高考数学（江苏专用理科）专题复习：专题6 数列 第41练含解析

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1、训练目标【1】数列知识的综合应用；【2】中档大题的规范练．训练题型【1】等差、等比数列的综合；【2】数列与不等式的综合；【3】数列与函数的综合；【4】一般数列的通项与求和．解题策略【1】将一般数列转化为等差或等比数列；【2】用方程【组】思想解决等差、等比数列的综合问题.1．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.【1】求{an}的通项公式；【2】若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.2．【2015·安徽】已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a

2、3＝8.【1】求数列{an}的通项公式；【2】设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.3．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝a＋2an－3.【1】求数列{an}的通项公式；【2】已知bn＝2n，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．4．【2016·苏州、无锡、常州、镇江三模】已知常数λ≥0，若各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝Sn＋【λ·3n＋1】an＋1【n∈N*】．【1】若λ＝0，求数列{an}

3、的通项公式；【2】若an＋1＜an对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．5．已知函数f【x】满足f【x＋y】＝f【x】·f【y】且f【1】＝.【1】当n∈N*时，求f【n】的表达式；【2】设an＝n·f【n】，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an＜2；【3】设bn＝【9－n】，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．答案精析1．解　【1】因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n＞1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝

4、2×3n－1，即an＝3n－1，显然当n＝1时，a1不满足an＝3n－1，所以an＝【2】因为anbn＝log3an，所以b1＝，当n＞1时，bn＝31－nlog33n－1＝【n－1】·31－n，所以T1＝b1＝.当n＞1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋【n－1】×31－n]，所以3Tn＝1＋1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋【n－1】×32－n]，两式相减，得2Tn＝＋【30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n】－【n－1】×31－n＝＋－【n－1】

5、×31－n＝－，所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.2．解　【1】由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.又a1＋a4＝9，可解得或【舍去】．由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1【n∈N*】．【2】Sn＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.3．解　【1】当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－.解得a1＝3.又∵4Sn＝a＋2an－3，①当n≥2时，4Sn－1＝a＋2an－1－3.②①－②，得4an＝a－a＋2【an－an－1】

6、，即a－a－2【an＋an－1】＝0.∴【an＋an－1】【an－an－1－2】＝0.∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝2【n≥2】，∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴an＝3＋2【n－1】＝2n＋1.【2】Tn＝3×21＋5×22＋…＋【2n＋1】·2n，③2Tn＝3×22＋5×23＋…＋【2n－1】·2n＋【2n＋1】2n＋1，④④－③，得Tn＝－3×21－2【22＋23＋…＋2n】＋【2n＋1】2n＋1＝－6＋8－2·2n＋1＋【2n＋1】·2n＋1＝【2n－1】2n＋1＋2.

7、4．解　【1】当λ＝0时，Sn＋1＝Sn＋an＋1，所以Sn＝Sn.因为an＞0，所以Sn＞0，所以an＋1＝an.因为a1＝1，所以an＝1.【2】因为Sn＋1＝Sn＋【λ·3n＋1】·an＋1，an＞0，所以－＝λ·3n＋1，则－＝λ·3＋1，－＝λ·32＋1，…，－＝λ·3n－1＋1【n≥2，n∈N*】．累加，得－1＝λ·【3＋32＋…＋3n－1】＋n－1，则Sn＝【λ·＋n】·an【n≥2，n∈N*】．经检验，上式对n＝1也成立，所以Sn＝【λ·＋n】·an【n∈N*】，①Sn＋1＝【λ·＋n＋1

8、】·an＋1【n∈N*】．②②－①，得an＋1＝【λ·＋n＋1】·an＋1－【λ·＋n】·an，即【λ·＋n】·an＋1＝【λ·＋n】·an.因为λ≥0，所以λ·＋n＞0，λ·＋n＞0.因为an＋1＜an对一切n∈N*恒成立，所以λ·＋n＜·【λ·＋n】对一切n∈N*恒成立，即λ＞对一切n∈N*恒成立．记bn＝，则bn－bn＋1＝－＝.当n＝1时，bn－bn＋1＝0；当n≥2时，bn－bn＋1＞0.所以b1＝b2＝是一切bn中