2019版一轮优化探究理数练习：第五章 第一节　平面向量的概念及其线性运算 含解析

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1、一，填空题1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝，因为AD为中线，则＋＝2＝3，所以m＝3.答案：32．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＋＋＝________.解析：∵＝，∴＋＝＋＝＝，得＋＋＝0(或＋＋＝＋＋＝＋＝0)．答案：03．如图，命题：点P，Q是线段AB的三等分点，则有＋＝＋，把此命题推广，设点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n等分点(n≥3)，则有1＋2＋…＋n－1＝________(

2、＋)．解析：当n＝3时，则应填1,当n＝4时，1＋2＋3＝3＋＋＋＝3＋＝3＋(－)＝(＋)，由归纳推理知填.答案：4．已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为________．解析：A，B，C三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.答案：λ1λ2－1＝05．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．解析：由题意得，＝λ(＋)，令＋＝，则AD与BC互相平分，又＝λ，即P点在直线A

3、D上，而AD在BC边的中线上，所以P点的轨迹必经过△ABC的重心．答案：重6．a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．解析：由于A，B，D三点共线，故∥，又＝2a＋kb，＝－＝a－2b，故由2a＋kb＝λ(a－2b)可解得k＝－4.答案：－47．已知两个不共线的向量，的夹角为θ，且

4、

5、＝3.若点M在直线OB上，且

6、＋

7、的最小值为，则θ的值为________．解析：如图作向量＝，则＋＝，其中点N在直线AC上变化，显然当ON⊥AC时，即点N到达H时，

8、

9、有最小值，且∠OAH＝θ，

10、从而sinθ＝＝，故θ＝或θ＝(根据对称性可知钝角也可以)．答案：或π8．已知O是正三角形ABC内部的一点，＋2＋3＝0，则△OAB的面积与△OAC的面积比值是________．解析：分别延长OB到B1，OC到C1，使＝2，＝3，故＋＋＝0，所以O为△AB1C1的重心，则S△OAB1＝S△OAC1，＝＝.答案：9．若＝a，＝b，下列向量中能表示∠AOB平分线上的向量的是________．①＋　　　　②λ(＋)，λ由确定③④λ()，λ由确定解析：由平面几何知识知∠AOB的平分线可视为以OA，OB所在线段为邻边的菱形的对角线OM所在的直线，故＝λ(＋)，其中

11、λ由确定．答案：②二，解答题10．如图所示，ABCD是一个梯形，AB∥CD且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.解析：连结CN，N是AB的中点，∵DC∥AB，且DC＝AN，∴四边形ANCD是平行四行形，则＝－＝－b.又＋＋＝0，且＝a，∴＝－－＝－a＋b，＝－＝＋＝a－b.11．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．解析：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A

12、，B，C在同一条直线上，∴∥，即＝λ，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.12．如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.(1)用a，b表示；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.解析：(1)设＝ma＋nb，则＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b.∵点A，M，D共线，∴与共线，∴＝，∴m＋2n＝1.①而＝－＝(m－)a＋nb，＝－a＋b.∵C，M，B共线，∴与共线，∴＝，∴4m＋n＝1.②联立①②可得m＝，n＝，∴＝a＋b.(2)证明：＝(－p

13、)a＋b，＝－pa＋qb，∵与共线，∴＝，∴q－pq＝－p，即＋＝1.