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1、第4模块第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量的长度与向量的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A．2 B．3C．4D．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终
2、点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且＝a，＝b，则等于( )A．b＋aB．b－aC．a＋bD．a－b解析：＝＋＝b＋(－a)＝b－a.答案：B3．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，若＝r＋s，则r＋s的值是( )A.B．0C.D．－3解析：在△ABC中，＝＝(－)＝－，故r＋s＝0.答案：B4．平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E
3、在BC上，且＝2，设＝a，＝b，则为( )A.a＋bB.a＋bC.a－bD.a＋b解析：如右图．由向量的运算法则得＝＋＝＋＝(a＋b)－b＝a＋b，故选B.答案：B二、填空题5．△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝________.解析：依题意有＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋＝(b－a)＋(－a)＝－a＋b.答案：－a＋b6．(2009·湖南高考)如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设＝(1,0)
4、，＝(0,1)，则
5、
6、＝，∴
7、
8、＝×sin60°＝.由题意有＝(x，y)，∴x＝1＋cos45°＝1＋，y＝sin45°＝.故x＝1＋，y＝.答案：1＋，三、解答题7．在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b.(1)当λ＝1时，用a，b表示；(2)用a，b表示.解：(1)当λ＝1时，＝(＋)＝a＋b.(2)＝＋，＝－＝a－b，因为＝λ，BC＝λCA，BA＝BC＋CA，BA＝(λ＋1)·CA，BC＝BA.所以＝，即＝＋＝b＋(a－b)＝.8．如下图，点O是梯形ABCD对角线的交点，
9、AD
10、＝4，
11、B
12、C
13、＝6，
14、AB
15、＝2.设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示，和；(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且
16、
17、＝2，求
18、
19、的最大值和最小值．解：(1)由题意知＝6a0，＝2b0，∴＝－＝6a0－2b0；∵∥，∴＝4a0，则＝＋＝2b0－6a0＋4a0＝2b0－2a0；过C点作CM∥BD，易知四边形BCMD是平行四边形．则＝，即＝，得＝b0－a0.(2)＝＋，2＝(＋)2＝·＋·＋2·，即
20、
21、2＝
22、
23、2＋
24、
25、2＋2
26、
27、·
28、
29、·cos〈，〉＝62＋22＋2·6·2cos〈，〉＝40＋
30、24cos〈，〉．∵cos〈，〉∈[－1,1]，∴当cos〈，〉＝1时，
31、
32、max＝8.当cos〈，〉＝－1时，
33、
34、min＝4.[高考·模拟·预测]1．(2009·北京高考)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，∴(k－1)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b
35、)＝－d.故c与d反向，选D.答案：D2．(2009·上海十四校联考)已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是( )A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形解析：由·＝0，得∠BAC的平分线垂直于BC.∴AB＝AC.而＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.故△ABC为正三角形，选D.答案：D3．(2009·天津高考)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于＝＝(1,1)，则四边形ABCD是
36、平行四边形且
37、
38、＝，又由＋＝，得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为1∶1∶，那么可知∠DAB＝120°，所以AB边上的高为.所以四边形ABCD的面积为×＝.答案：4．(2009·启东模拟)已知向量集合M＝{a
39、a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b
40、b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M
