2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值教学案

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1、第2课时　导数与函数的极值、最值利用导数解决函数的极值问题►考法1　根据函数图象判断函数极值的情况【例1】　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′

2、(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]►考法2　求已知函数的极值【例2】　已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解]　∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a.①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜时，ln2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表

3、：x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.③当a＞时，ln2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.综上，当0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln2a－2)2，极小值a－e；当a＝时，

4、f(x)无极值；当a＞时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln2a－2)2.►考法3　已知函数极值求参数的值或范围【例3】　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)若函数f(x)＝ex－alnx＋2ax－1在(0，＋∞)上恰有两个极值点，则a的取值范围为(　　)A．(－e2，－e)　　　B.C.D．(－∞，－e)(1)－7　(2)D　[(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b

5、＝9满足题意，故a－b＝－7.(2)∵f′(x)＝ex－＋2a，(x＞0)∴由f′(x)＝0得a＝.令g(x)＝(x＞0)．由题意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有两个零点．又g′(x)＝－(x＞0)，由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠.由g′(x)＜0得x＞1.∴函数g(x)在，上递增，在(1，＋∞)上递减．又g(0)＝0，g(1)＝－e，结合图形(图略)可知a∈(－∞，－e)，故选D.][规律方法]　1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程

6、组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．(1)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c的值为(　　)A．2或6B．2C.D．6(2)(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C.D.(1)D　(2)A　[(1)法一：f′(x)＝(x－c)(3x－c)，当f′(x)＝0时，x1＝，x2＝c.因为极大值点是x＝2，所以c＞0，并且＜c.当x∈时，f′(x)＞0

7、，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈(c，＋∞)时，f′(x)＞0，所以x＝是极大值点，＝2，解得c＝6.故选D.法二：因为f′(x)＝(x－c)(3x－c)．又因为f(x)在x＝2处取极值，所以f′(2)＝0，即(2－c)(6－c)＝0.所以c＝2或c＝6.当c＝6时，f′(x)＝3(x－2)(x－6)，易知x∈(－∞，2)和x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数，x∈(2,6)时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2为极大值点．当c＝2时，f′(x)＝3(x－2)，易知x∈和x∈(2，＋∞)时，f

8、′(x)＞0，函数f(x)是增函数，x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数，此时x＝2是极小值点．因此c＝6.故选D.(2)f(x)＝xlnx－ax2(x＞0)，f′(x)＝lnx＋1－2ax.令g(x)＝lnx＋1－2ax，则g′(x)＝－2a＝.∵函数