高考数学第七章不等式4第4讲基本不等式练习理(含解析)

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1、第4讲基本不等式[基础题组练]1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(  )A.a2+b2>2ab  B.a+b≥2C.+>D.+≥2解析:选D.因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以A错误.对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,因为ab>0,所以+≥2=2.2.下列不等式一定成立的是(  )A.lg>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2

2、x

3、(x∈R)D.>1(x∈R)解析:选C.对于选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,所以lg≥lgx;对于选

4、项B,当sinx<0时显然不成立;对于选项C,x2+1=

5、x

6、2+1≥2

7、x

8、,一定成立;对于选项D,因为x2+1≥1,所以0<≤1.故选C.3.已知f(x)=,则f(x)在上的最小值为(  )A.B.C.-1D.0解析:选D.f(x)==x+-2≥2-2=0,当且仅当x=,即x=1时取等号.又1∈,所以f(x)在上的最小值是0.4.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )A.B.2C.2D.4解析:选C.因为+=,所以a>0,b>0,由=+≥2=2,所以ab≥2(当且仅当b=2a时取等号),所以ab的最小值为2

9、.5.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是(  )A.2B.2C.4D.2解析:选C.因为lg2x+lg8y=lg2,所以lg(2x·8y)=lg2,所以2x+3y=2,所以x+3y=1.因为x>0,y>0,所以+=(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号.所以+的最小值为4.故选C.6.若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为________.解析:因为正实数x,y满足x+y=2,所以xy≤==1,所以≥1;又≥M恒成立,所以M≤1,即M的最大值为1.答

10、案:17.已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为________.解析:由a+2b=3得a+b=1,所以+==++≥+2=.当且仅当a=2b=时取等号.答案:8.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.解析:依题意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(当且仅当x=2y时取等号),即的最大值为2.又λ≥恒成立,因此有λ≥2,即λ的最小值为2.答案:29.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设0

11、++=-+.当x<时,有3-2x>0,所以+≥2=4,当且仅当=,即x=-时取等号.于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.(2)因为00,所以y==·≤·=,当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,所以当x=1时,函数y=的最大值为.10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=.得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-

12、xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12,y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.[综合题组练]1.(应用型)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为(  )A.9B.12C.18D.24解析:选B.由+≥,得m≤(a+3b)=++6.又++6≥2+6=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立,所以m≤12,所以m的最大值为12.2.(应用型)若正数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(  )A.1B.C.9D.16解析:选B.+=·=≥=,当且仅当=,即a

13、=,b=时取等号,故选B.3.(创新型)规定:“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为________,此时函数f(x)=的最小值为________.解析:由题意得1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,解得=1或=-2(舍去),所以k=1,故k的值为1,又f(x)===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.答案:1 34.已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求:(1)u=lgx+lgy的最大值;(2)+的最小值.解:(1)因为x>0,

14、y>0,所以由基本不等式,得2x+5y≥2.因为2x+5y=20,所以2≤20,xy≤10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.所以u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)因为x>0,y>0,所以+=·=≥=.当且仅当=时,等号成立.由

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