2019年高考数学（理）：专题06-函数与方程﹑函数模型及其应用（命题猜想）

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1、【考向解读】:求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在,利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点,方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识,提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】:函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)

2、＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根,即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点,则a的取值范围是A.[–1,0）B.[0,+∞）C.[–1,+∞）D.[1,+∞）【答案】:C【解析】:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直

3、线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.2019高考数学【变式探究】:【2017课标1,理21】:已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点,求a的取值范围.【答案】:（1）见解析；（2）.（2）（ⅰ）若,由（1）知,至多有一个零点.（ⅱ）若,由（1）知,当时,取得最小值,最小值为.①当时,由于,故只有一个零点；②当时,由于,即,故没有零点；③当时,,即.又,故在有一个零点.2019高考数学设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.综上,的取值范围为.【变式

4、探究】:(1)已知偶函数y＝f(x),x∈R满足f(x)＝x2－3x(x≥0),函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)A．1B．3C．2D．4(2)已知函数f(x)＝若存在实数b,使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点,则a的取值范围是________．【答案】:（1）B　（2）（－∞,0）∪（1,＋∞）　【解析】:（1）作出函数f（x）与g（x）的图像如图所示,易知两个函数的图像有3个交点,所以函数y＝f（x）－g（x）有3个零点.（2）令φ（x）＝x3（x≤a）,h（x）＝x2（x

5、>a）,函数g（x）＝f（x）－b有两个零点,即函数y＝f（x）的图像与直线y＝b有两个交点.结合图像,当a<0时,存在实数b使h（x）＝x2（x>a）的图像与直线y＝b有两个交点；当a≥0时,必须满足φ（a）>h（a）,即a3>a2,解得a>1.综上得a∈（－∞,0）∪（1,＋∞）.【感悟提升】:函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题,数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时,既要利用函数的图像,2019高考数学也要利用函数零点的存

6、在性定理、函数的性质等,把数与形紧密结合起来．【变式探究】:已知函数f(x)＝

7、x＋a

8、(a∈R)在[－1,1]上的最大值为M(a),则函数g(x)＝M(x)－

9、x2－1

10、的零点的个数为(　　)络的发展,网校教育越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位:万套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y＝＋4(x－6)2,其中2

11、数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】:解:（1）因为x＝4时,y＝21,代入y＝＋4（x－6）2,得＋16＝21,解得m＝10.（2）由（1）可知,套题每日的销售量y＝＋4（x－6）2,所以每日销售套题所获得的利润f（x）＝（x－2）·＝10＋4（x－6）2（x－2）＝4x3－56x2＋240x－278（2

12、）>0,函数f（x）单调递增,在上,f′（x）<0,函数f（x）单调递减,所以x＝是函数f（x）在（2,6）内的极大值点,也是最大值点,所以当x＝≈3.3时,函数f（x）取得最大值,即当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】:2019高考数学函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型),然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数