2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学案新人教B版

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1、3.2.1　常数与幂函数的导数3.2.2　导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－2.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xuf′(x)＝uxu－1(x＞0，u≠0)f(x)

2、＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝(a＞0，a≠1，x＞0)f(x)＝lnxf′(x)＝1．下列结论：①(sinx)′＝cosx；②(x)′＝x；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的有(　　)A．0个B．1个　　　C．2个　　　D．3个C　[∵②(x)′＝x；③(log3x)＝；∴②③错误，故选C.]2．若函数f(x)＝，则f′(1)等于(　　)A．0B．－C．D．1C　[∵f′(x)

3、＝()′＝(x)′＝x＝，∴f′(1)＝，故选C.]3．曲线y＝sinx在处的切线方程为________．4x－8y＋(4－π)＝0　[∵k＝(sinx)′

4、＝cos＝，∴切线方程为y－＝，即4x－8y＋(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数【例1】　求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝2sincos；(5)y＝logx.[思路探究]　先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导．[解]　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.(3)y

5、′＝()′＝(x)′＝x＝x＝.(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝(logx)′＝＝－.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用[探究问题]1．若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的速度始终为0

6、，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬时速度为2x.2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示]　(1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y＝ex的导数是y＝ax(a>0，a≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，y＝lnx的导数是y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)导数的特例．【例2】　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y

7、＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究]　先求导数，再根据导数的几何意义求解．[解]　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．设切点坐标为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－，所以切点坐标为.所以所求切线方程为y－＝(－1)，即4x＋4y＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′

8、＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切

9、线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M，所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.2．(变条件)若函数改为y＝lnx，试求与直线PQ平行的切线方程．[解]　设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，则由f′(a)＝＝1，得a＝1，故b＝ln1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f(x)＝log2π，则f′(x)＝.(　　)(2)若函数f(x

10、)＝3x，则f′(x)＝x·3x－1.(　　)(3)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.(　　)[提示]　(1)×　π为常数