2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角讲义新人教A版

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1、5.1　任意角和弧度制最新课程标准：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．5.1.1　任意角知识点一　角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．　(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”知识点二　角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．知识点三　角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺

2、时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点四　象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．知识点五　终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

3、β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．　(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·

4、360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[教材解难]象限角的集合表示.象限角集合表示第一象限角{α

5、k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}第二象限角{α

6、90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}第三象限角{α

7、180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}第四象限角{α

8、270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z

9、}[基础自测]1．下列说法中正确的是(　　)A．终边相同的角都相等　　B．钝角是第二象限的角C．第一象限的角是锐角D．第四象限的角是负角解析：终边相同的角不一定相等，第一象限角不一定是锐角，第四象限角可能为正角，也可能为负角，故选B.答案：B2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B3．与30°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α

10、α

11、＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α

12、α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α

13、α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α

14、α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α

15、α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A4．2019°是第________象限角．解析：2019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°.∴2019°是第三象限角．答案：三题型一　任意角的概念及应用[经典例题]例1　(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给

16、出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．【解析】　(1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.【答案】　(1)C　(2)－960°按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．分针1个小时转过的角度的绝对值是36

17、0°.方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1　在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二

18、象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④题型二　终边相同的角[经典例题]例2　写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～10