2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角学案新人教A版必修第一册.docx

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1、5．1.1　任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②我们把射线O

2、A绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

3、β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同

4、的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．1．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？[答案]　不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？[答案]　不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当

5、角的始边和终边确定后，这个角就确定了．(　　)(2)－30°是第四象限角．(　　)(3)钝角是第二象限的角．(　　)(4)终边相同的角一定相等．(　　)(5)第一象限的角是锐角．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×题型一任意角的概念【典例1】　下列命题正确的是(　　)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引]　对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边

6、和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[答案]　C　理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．[解析]　由题意可知，时针按逆时针方向转了10×＝

7、5°，分针按逆时针方向转了10×＝60°.[答案]　5°　60°题型二终边相同的角的表示【典例2】　已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[思路导引]　解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解]　(1)由2020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k

8、·360°＋2020°<720°(k∈Z)，解得－6≤k<－3(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．[针对训练]2．如图所示，求终边落在直线y＝x上的角的集合．[