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《高考数学必考题型函数与导数 (9)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第8练 函数性质在运用中的巧思妙解题型一 直接考查函数的性质例1 (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝
2、(ax－1)x
3、在区间(0,＋∞)内单调递增”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件破题切入点 首先找出f(x)在(0,＋∞)递增的等价条件,然后从集合的观点来研究充要条件、答案 C解析 当a＝0时,f(x)＝
4、(ax－1)x
5、＝
6、x
7、在区间(0,＋∞)上单调递增；当a<0时,结合函数f(x)＝
8、(ax－1)x
9、＝
10、ax2－x
11、的图象知函数在(0,＋∞)上
12、单调递增,如图(1)所示；当a>0时,结合函数f(x)＝
13、(ax－1)x
14、＝
15、ax2－x
16、的图象知函数在(0,＋∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示、所以,要使函数f(x)＝
17、(ax－1)x
18、在(0,＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝
19、(ax－1)x
20、在区间(0,＋∞)内单调递增”的充要条件、题型二 函数性质与其他知识结合考查例2 (2013·安徽)函数y＝f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得＝＝…＝,则n的取值范围为(
21、 )A、{2,3}B、{2,3,4}C、{3,4}D、{3,4,5}破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发,找图象上的表示形式,再找与原函数图象的关系,进一步判断出结果、答案 B解析 过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点,因此n的取值范围是{2,3,4}、题型三 对函数性质的综合考查例3 已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时,求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上单调,求实数a的取值范围、破题切入点 (1)直接根据f′(x
22、)<0确定单调递减区间、(2)g(x)在[1,＋∞)上单调,则g′(x)≥0或g′(x)≤0在[1,＋∞)上恒成立、解 (1)由题意知,函数的定义域为(0,＋∞),当a＝－2时,f′(x)＝2x－＝,故f(x)的单调递减区间是(0,1)、(2)由题意得g′(x)＝2x＋－,函数g(x)在[1,＋∞)上是单调函数、①若g(x)为[1,＋∞)上的单调增函数,则g′(x)≥0在[1,＋∞)上恒成立,即a≥－2x2在[1,＋∞)上恒成立,设φ(x)＝－2x2,∵φ(x)在[1,＋∞)上单调递减,∴φ(x)max＝φ(1)＝
23、0,∴a≥0.②若g(x)为[1,＋∞)上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,＋∞)上恒成立,不可能、∴实数a的取值范围为[0,＋∞)、总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x1、x2∈[a,b]则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a,b]上递增、(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a,b]上递减、(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f(x)和g(x)都是增函数,则f(x)＋g(x)也是增函数,－f(x)是减函数,复合函数单调性根据内函数和外函数同
24、增异减的法则、(3)求函数单调性问题还可以求导、(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称、(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数、如f(x)＝＋,为偶函数,而为奇函数、(6)求函数的单调性要注意先研究定义域、1、已知函数f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)＝－a,则f(log3)等于( )A.B.C.D.答案 D解析 由题意,可知函数f(x)为奇函数,所以f(0)＝－a＝0,解得a＝,所以当x≥0时,f(x)＝－.所以f(log32)＝－＝－＝－.从而f(log3)＝f(－log32)＝－f(
25、log32)＝.2、定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x),当－3≤x<－1时,f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时,f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2013)等于( )A、335B、337C、1678D、2012答案 B解析 ∵f(x＋6)＝f(x),∴T＝6.∵当－3≤x<－1时,f(x)＝－(x＋2)2,当－1≤x<3时,f(x)＝x,∴f(1)＝1,f(2)＝2,f(3)＝f(－3)＝－1,f(4)＝f(－2)＝0,f(5)＝f(－1)＝－1,f(6)＝f(0)＝0
26、,∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1,∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1,∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×＝335.而f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2,∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝33
