2019_2020学年高中数学课时分层作业7数列的递推公式（选学）（含解析）新人教B版必修5

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1、课时分层作业(七)　数列的递推公式(选学)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于(　　)A．　　　B．　　　C．－　　　D．C　[由题知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.]2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)A．R　　　B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]C　[∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.]3．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)A．1,

2、2,3,4，…B．1,，2,2，…C．，2,，2，…D．0,，2,2，…B　[由递推公式可知符合该递推公式的数列，每一项的倍为后一项，所以只有B符合．]4．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)A．B．C．4D．0D　[∵an＝－3n2＋15n－18＝－32＋，因为n∈N＋，所以当n＝2或3时，an最大．a2＝a3＝0.]5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnnA　[an＋1－an＝ln＝ln

3、，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln，a2－a1＝ln2.叠加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln2＋a1＝ln＋2＝lnn＋2.]二、填空题6．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5＝________.31　[因为a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以a2＝3，a3＝7，a4＝15，所以a5＝2a4＋1＝31.]7．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N＋都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.则a3，a5分别

4、等于________．6,20　[由题意，令m＝2，n＝1则a3＋a1＝2a2＋2，所以a3＝6，令m＝3，n＝1则a5＋a1＝2a3＋2×4，所以a5＝20.]8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.2　[∵∴∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]三、解答题9．已知a1＝1，an＋1－an＝2，求数列{an}的一个通项公式．[解]　法一：(叠加法)∵a1＝1，an＋1－an＝2，∴a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－a

5、n－1＝2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，又a1＝1，∴an＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.法二：(迭代法)an＝an－1＋1×2＝an－2＋2×2＝…＝a1＋(n－1)×2＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝1也满足an＝2n－1，故数列{an}的一个通项公式为an＝2n－1.10．已知数列{an}满足，a1＝1，an＋1＝pan＋q

6、n，其中p，q均为正数，且a2＝3，a4＝13.(1)求p，q的值；(2)求an＋3与an的递推关系式．[解]　(1)由已知可得a2＝pa1＋q，即p＋q＝3，a4＝pa3＋3q＝p(pa2＋2q)＋3q＝p2a2＋2pq＋3q，即3p2＋2pq＋3q＝13，由得或因为p，q均为正数，所以p＝1，q＝2.(2)由(1)知an＋1＝an＋2n，则an＋2＝an＋1＋2(n＋1)＝(an＋2n)＋2(n＋1)＝an＋4n＋2.故an＋3＝an＋2＋2(n＋2)＝an＋6n＋6.[能力提升练]1．已知数列{an}中，a1＝2，an

7、＝－(n≥2)，则a2019＝(　　)A．－B．C．2D．－2C　[法一：由已知可得，a1＝2，a2＝－，a3＝2，a4＝－，∴{an}是周期为2的数列，则a2019＝a1009×2＋1＝a1＝2.法二：∵an＝－(n≥2)，∴an＋2＝－＝an，∴{an}是周期为2的数列，则a2019＝a1009×2＋1＝a1＝2.]2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥2)，则当n≥1时，an等于(　　)A．2nB．C．2n－1D．2n－1C　[由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥2)，得an－1＝a0

8、＋a1＋…＋an－2(n≥3)，两式相减得，an＝2an－1，即＝2(n≥2)，则an＝a1···…·＝a1·2n－1，又a1＝a0＝1，∴an＝2n－1(n≥2)．又∵a1＝1也适合，∴an＝2n－1.]3．已知数列{an}是递增数列，且对任意n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的