2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试题和答案-(15099)

《2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试题和答案-(15099)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、word格式文档第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；R（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。解：（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力

2、大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得Fmgsinma①式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1（规定小圆柱在最低点时R10）与之间的关系为1Rr(1)②由②式得，a与的关系为22d1dar2(Rr)2③dtdt考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得2d1rFI2④dt式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量12Imr⑤2由①②③④⑤式及小角近似sin⑥得2d2g0⑦2dt3(Rr)由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为专业整理word格式文档1gf⑧π6(Rr

3、)（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1和2分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120）。对于小圆柱，由转动定理得212d1Frmr⑨22dt对于圆筒，同理有22d2FR(MR)2⑩dt由⑨⑩式得2221d1d2FrR?22mMdtdt设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有Rr(1)R2?由?式得222dd1d2(Rr)2r2R2?dtdtdt设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得Fmgsinma?由?式得2da(Rr)2?dt由????式及

4、小角近似sin，得2d2Mmg20?dt3MmRr由?式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为12Mmgf?2π3MmRr评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线专业整理word格式文档krP1cosC式中，r是P到太阳S的距离，是矢径SP相对于极r2LA轴SA的夹角（以逆时针方向为正），k,L是B2GMmS11312REP相对于太阳的角动量，G6.6710mkgs为30

5、D引力常量，M1.9910kg为太阳的质量，22EL1为偏心率，m和E分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运223GMm动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所11示。已知地球轨道半径RE1.4910m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。xdx23/21/2已知积分公式xa2axaC，式中C是任意常数。xa3专业整理word格式文档解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,E0①彗星绕太阳运动的轨道方程为：k

6、r②1cos彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒212Lmr&2VrE0③22mr式中MmVrG④r当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为rmin，由③式得2LMm2VrminG⑤2mrminrmin由⑤式和题给条件得2LRE2rmin⑥2GMm3由③式得2dr2GML22dtrmr或drdt⑦22GML22rmr设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为t，对⑦式两边积分，并利用⑥式得RREdr1ErdrtR⑧r2Emin2GML2GM3REr22rmr3对⑧式应用题给积分公式得R1ErdrtRE2GM3REr33/21/212R2RREEERERE⑨2GM33

7、3332103RE27GM由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为32203RET2t⑩27GM将题给数据代入⑩式得专业整理word格式文档6T6.4010s?（2）彗星在运动过程中机械能守恒12GMmmvE0?2r式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。由?式有2GMv?r当彗星经过C、D处时rCrDRE?由??式得，彗星经过C、D两点处的速度的大小为2GMvCvD?RE由?式和题给数据得4vCvD4