高中数学第二章2.3.2向量数量积的运算律示范教案

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1、2.3.2向量数量积的运算律示范教案教学分析　　　　　上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算．学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框．学生在形式上已接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律．认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础．三维目标　　　　　1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和．2．通过向量

2、运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题．3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：向量数量积的运算律．教学难点：向量数量积运算律的灵活运用．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　思路1.(直接引入)从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更有意义．现在我们探索一下，看看它会有哪些运算律呢？思路2.(特例引入)让学生计算a·b和b·

3、a，其中

4、a

5、＝4，

6、b

7、＝2，〈a，b〉＝.学生会发现向量运算满足交换律，进而探究是否满足其他的运算律呢？推进新课　　　　　(1)由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？(2)我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2.对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.活动：首先看看它有没有交换律a·b＝b·a.由向量数量积的定义，

8、得

9、a

10、

11、b

12、cosθ＝

13、b

14、

15、a

16、cosθ，可以直接推出交换律成立．在数量乘法中，最重要的运算律，要算分配律了．向量的数量积是否具有分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c?直观上，不太容易看出它是否成立．让我们从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立．我们知道，一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正射影的数量．如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变为(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0.①证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正射影的数量等于各个向量在这个方向上的射影的数量和．为

17、此，我们画出①式两边的几何图形(图1)，看看能否推出①式两边相等．图1作轴l与向量c的单位向量c0平行．作＝a，＝b，则＝a＋b.设点O，A，B在轴l上的射影为O，A′，B′，根据向量的数量积的定义有OA′＝·c0＝a·c0，A′B′＝·c0＝b·c0，OB′＝·c0＝(a＋b)·c0，但对轴上任意三点O，A′，B′，都有OB′＝OA′＋A′B′，即(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0，这就证明了①式成立．①式两边同乘以

18、c

19、，得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.至此，我们完成了分配律的探索与证明．另外，容易验证数乘以向量的

20、数量积，可以与任意一个向量交换结合，即对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．至此，我们探究并证明了数量积的运算律：已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．应向学生特别指出：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bca＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，

21、即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图2很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图2(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：(1)数量积满足a·b＝b·a(交换律)；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．(2)1°(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b

22、)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2；2°(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2＝

23、a

24、2－

25、b

26、2.显然由1°式解出：3°a·b＝((

27、a＋b

28、)2－

29、a

30、2－

31、b

32、2)．此时可向学生点明(2)中的三个向量表达式，有着深刻的几何意义．后面马上就要学到．思