高考数学二轮复习专题八第1讲函数与方程思想数形结合思想案文

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1、第1讲　函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动

2、化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一　函数与方程思想应用1　求解不等式、函数零点的问题【例1】　(1)(2017·衡阳联考)设0

3、x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.解析　(1)设f(x)＝ex－x－1，x>0，则f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即ea－1>a.又y＝ax(0ae，从而ea－1>a>ae.(2)由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，因为当x∈[－2，0]时，f(x)＝－6.所以若x∈[0，2]，有－x∈[－2，0]，则f(－x)＝－6＝3x－6，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝3x－6，

4、x∈[0，2]，由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，作出函数f(x)的图象如图.当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，则满足即解得

5、零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】　(1)设函数f(x)＝－cosx，则方程f(x)＝所有实根的和为(　　)A.0B.C.D.(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析　(1)由f(x)＝－cosx＝，得－＝cosx，令y＝－，y＝cosx.在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.∴方程f(x)＝的实根之和为.(2)由y＝x＋lnx，得y′＝1＋，∴曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方

6、程为y－1＝2(x－1)，联立消去y得ax2＋ax＋2＝0.依题意，Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8(a＝0舍去).答案　(1)C　(2)8应用2　函数与方程思想在数列中的应用【例2】　(2017·深圳调研)已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＋a4＝14，且a1，a2，a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn；(2)令bn＝，若{bn}是等差数列，求数列的前n项和Tn的最小值.解　(1)a1＋a4＝2a1＋3d＝14，由a1，a2，a7成等比数列得a1(a1＋6d)＝(a1＋d)2，整理得d2＝4a1d，∵d≠0，∴d＝4a1，

7、由d＝4a1与2a1＋3d＝14联立，解得a1＝1，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－3，Sn＝＝2n2－n.(2)由(1)知bn＝，∵{bn}为等差数列，∴2b2＝b1＋b3，代入可解得k＝－或k＝0，当k＝－时，bn＝2n，则＝，∴Tn＝＝，又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，∴当n＝1时，Tn有最小值.当k＝0时，bn＝2n－1，则＝＝，∴Tn＝＝.又y＝＝在(0，＋∞)上是增函数，∴当n＝1时，Tn取到最小值.综上，当k＝－时，Tn的最小值为；当k＝0时，Tn的最小值为.探究提高　1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相

8、消求Tn，构造函数，利用单调性求Tn的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函