数学—袁炳金对课本上一道习题的思考与拓展

《数学—袁炳金对课本上一道习题的思考与拓展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、对课本上一道习题的思考与拓展袁炳金（四川省射洪中学629200）高中数学新课标实验教材A版选修4—5习题2.3第4题：设为正实数，且，用反证法证明：。本文对此题作如下研究：一、对原题目的求解出于对题目解法的探讨，本文忽略原题目对解法的限制，借希望达到对知识的融会贯通、灵活运用的目的。证法1：反证法假设，由于，且，则，得，显然矛盾。所以。证法2：分析法由于，且，则。而，即成立。所以得证。证法3：综合法由于，且，所以，而，即。所以。证法4：三角换元法令。则。证法5：均值换元法令，则（设，则）。证法6：综合法（调和平均数与几

2、何平均数不等式）由且即，又当时，。所以令，。由即在单减。故，即，所以得证。二、对原题目的拓展1.横向推广（对变元个数的拓展）①若，且，则。把①分解，于是得到②和③：②若，且，则。③若，且，则。证明：我们先来证明②：因为，且，所以当且仅当时取得等号。所以命题②得证。再来证明③：，当且仅当时取得等号。所以命题③得证。由②和③等号成立的条件都是，所以自然得到①成立。2.纵向拓展（对变元指数的拓展）④若，且，则把④分解，从而得到⑤和⑥：⑤若，且，则⑥若，且，则证明：先来证明⑤：很显然当时取得等号。不妨设，则。现在对的大小作如下

3、调整：令，显然有，。则，即每对调整一次就会增大一次，当调整到时达到最大，所以。同理可证得⑥也成立。由于⑤和⑥取等号的条件都是从而④也就得到了证明。3.综合拓展（对条件和结论都拓展）⑦若，且，则。与①的证明方法方法类似。⑧若，且，则。证明：易知当时取得等号。不妨设，则。现在对的大小作如下调整：令，显然有且，。则（因为，，且在上单减。）。即每对调整一次就会减小一次，当调整到时达到最小，所以。不等式的证明往往是很多同学感觉到头痛的问题，要很好的掌握其证明方法与技巧确实不容易。所以，在平时的学习过程中要抓住手中现有的题目——特

4、别是教材上的题目多反思、归纳、总结、延伸，以旧题创新题，以旧解拓新解。本文拓展⑤和⑧都用的是逐步调整法，教材在排序不等式的证明过程中用的就是这种方法，解决具有对称性的多变元的不等式的证明和具有对称性的多变元的最值问题时，用这种方法有时可能得到意想不到的效果。