对一道数学开放题的分析与思考

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1、对一道数学开放题的分析与思考浙江省海宁市南苑小学蔡荣明由张奠宙教授和戴再平教授等学者的倡议，1998年、2003年两度在上海举办国际性的“‘数学开放题及其教学’学术研讨会”；戴再平教授主编的五卷集《中小学数学开放题丛书》于2000年至2002年1月由上海教育出版社正式出版。数学开放题在我国已成为数学教育改革，培养学生创新精神，转变学生学习方式研究中的一个热点，不仅如此，数学开放题还进入了我国新的《课程标准》、教材和考试，这一过程，在我国只用了7年，而在日本则经过了30年*。据《中国图书商报》报导：开放题已成为“助学读物新亮

2、点”，近几年市场上相续出现了不少有关数学开放题方面的书籍，这些书籍无疑反映了数学开放题研究队伍的扩大，受到学生、家长和教师的关注，使数学开放题这道“宫庭菜”成为“家常菜”起到了推动作用。但正如《中小学数学开放题丛书》的作者在“序”中所言：“数学开放题是一个新课题，一个新事物，从这个意义上说，本丛书终究是不可能完善的。‘纸上谈兵终觉浅，绝知此事须躬行’。”根据这一精神，我们发现，一些有关数学开放题方面的书籍，就题论题的居多，没有考虑到数学*根据日本横滨国立大学教授桥本吉彦2003年11月27日在上海“‘数学开放题及其教学’国

3、际学术研讨会”上的发言：1971年以岛田茂为首的一个日本学者群体，率先研究“开放式结尾（open----ended）问题”，2002年正式进入日本文部省颁布的《算数·数学学习指导要领》。文档分享开放题作为载体，理应使不同的学生学到不同的数学，在培养学生的创新精神方面体现其教育价值，如果作者本人都未经适当思考，这样的“数学开放题”仓促走进课堂，不仅不能充分发挥开放题的价值，而且可能使师生发生困惑，对课堂教学产生不利的影响。这里仅以徐国钧主编《小学数学开放题200例》（五年级）（东北师范大学出版社，2003年6月第一版）第26

4、页中的例9为例进行分析。现将原题及其解答照录如下：下图是一张正方形纸，正好分成25个大小一样的小正方形。分成五份，每份都有5个连着的小正方形，折起来都可以成为一个没有盖的正方体。分法一：分法二：文档分享我们认为作为一道数学开放题，要体现其教育价值，不能仅停留在习题范畴，即获得几个解答而已。而应在解答过程中引导学生从多角度、多层次进行思考，给学生以广阔的思维空间及有序的思考过程，培养学生良好的思维品质。该书作者仅给出两个答案，也不加任何文字说明，我们认为作者这样处理是不当的，是有问题的。至少在分析与解答中关于答案的个数，应明

5、确是有限的还是无限的，如是有限的，最好能分类按序列出全部答案，如个数太多，可给出有代表性的若干个；如答案个数是有限混沌的，也应该交代清楚，并给出有代表性的若干个。同时作为一个数学开放题，在题意的叙述上应考虑到学生的年龄特征和理解水平。在此谨与作者对这样的题目和解答进行商榷，向作者求教。一、题意的表述为了以下的叙述标准化和规范化，首先要指出，“正方体”不是一个规范的数学名词，根据全国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词（1993）》（科学出版社，1994年4月第一版）第162页序码08.0146，应为“立方体”，也就是说“

6、正方体”这个数学名词业经全国自然科学名词审定委员会审定废弃；同时立方体是一个空间六面体，它有6个面，但是不存在有没有“盖”的问题，因此原题中的“没有盖的正方体”是难以使人理解的，如果在教学中使用这样的错误的、不规范的语言，长此以往，学生所学的“数学”将难以与他人交流，宜改为“无盖立方体型的盒子”。1、题目的表述过于抽象，不符合小学生的年龄特征和认知水平，学生理解上有困难。因为此题在理解上包含以下几层意思：“无盖立方体型的盒子”的含义；无盖立方体型的盒子的平面展开图的形状；五个连着的小正方形与无盖立方体型的盒子的平面展开图之

7、间的关系，即哪些形状的“5个连着的小正方形”文档分享图不能成为无盖立方体型的盒子的平面展开图等。在没有任何提示或文字说明的情况下，学生看了题目后要理解上述几层含义是有一定困难的，极有可能使更多的学生拿题目后手足无措，继而产生“畏惧”心理。1、题意表述比较含糊，问题也不够明确。比如：题目要求把25个小正方形分成五份，那么每一份的形状是否可以相同，即同一形状的图形是否可以重复使用；题目是否只需学生任意拼凑出一个解答即可，对学生也没有提出具体的解答要求；在解题过程中“经旋转或翻折后其形状相同，是否算作同一形状？”也没有作具体说明

8、等。我们认为，数学开放题的学习，并不要求学生“齐步走”，允许不同基础不同程度的学生“学习不同的数学并得到不同的发展”。因此，如何让更多学生参与到开放题的学习中来十分重要，这就要求我们为学生创设一个适宜的外部条件。在开始阶段，适当的“扶上马，送一程”十分必要，这不仅体现了老师的关怀，也能给他们以信心。因此