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《人教版高中数学必修1反函数的概念和求法教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§2.4.1反函数的概念及求法[教学目的]使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数.[重点难点]反函数的定义和求法.[教学设想]1.教法：讲授法；2.学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；3.课时：1课时.[教学过程]一、复习引入⒈复习：⑴函数的定义（近代定义和传统定义）；⑵求下列函数的定义域和值域：①y=x2+1;②y=2x-3;③y=5/(3x-1);④y=+2;⑤y=(x+2)/(2x-1).答案：①x∈R,y≥1;②x∈R,y∈R;③x≠1/3,y≠0;④x≥0,y≥2;⑤x≠1/2,y≠1/2.⒉引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=
2、vt,其中速度v是常量,定义域t≥0,值域s≥0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s≥0,值域t≥0.又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域x∈R，值域y∈R.我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3.这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的值和它对应.因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y∈R，值域是x∈R.综合上述，我们由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数y=2x+6得出了函数
3、x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数是互为反函数.今天我们就来学习这种函数.二、学习、讲解新课⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记
4、作x=f-1(y).反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.说明：⑴在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义.从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f-1
5、(x)互为反函数.⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域（如下表）：函数y=f(x)反函数y=f-1(x)定义域AC值域CA⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f-1所确定的函数x=f-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数.反函数x=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值
6、域、定义域.开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f-1(x)=x/2-3.⒉反函数的求法由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数y=f(x)的反函数，可按下列步骤进行：①确定函数y=f(x)的定义域和值域；②视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);③互换x,y得反函数的解析式y=f-1(x)；④写出反函数的定义域（原函数的值域）.例1(P66例1)求下列函数的反函数：⑴y=3x-1(x∈R);⑵y=x3+1(x∈R);⑶y=+1(x≥0);⑷y=(2x+3
7、)/(x-1)(x∈R,且x≠1).解：⑴①∵x∈R，∴y∈R.②由y=3x-1解得x=(y+1)/3,③∴函数y=3x-1(x∈R)的反函数是y=(x+1)/3，④所求反函数的定义域是x∈R;（若给出f(x)=3x-1，则得f-1(x)=(x+1)/3(x∈R)）⑵①∵x∈R，∴y∈R.②由y=x3+1解得x=,③④∴函数y=x3+1(x∈R)的反函数是y=f-1(x)=(x∈R);⑶①∵x≥0，∴y≥1.②由y=+1解得x=(y-1)2,③④∴函数y=+1(x≥0
