2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性讲义新人教A版

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1、3.2.2　奇偶性最新课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.知识点　偶、奇函数1．偶函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．2．奇函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是

2、奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．　奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[教材解难]　教材P85思考(1)利用定义判断奇偶性，函数f(x)＝x3＋x的定义域为R，对每一个x，都有f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象．如图所示．(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．

3、[基础自测]1．设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是(　　)A．f(－x)＋f(x)＝0　　　B．f(－x)－f(x)＝0C．f(x)·f(－x)<0D．f(0)＝0解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，所以f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，f(0)＝0不一定成立．故选B.答案：B2．下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝

4、x

5、B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若

6、函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)A．－2B．2C．0D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)　(1)(3)题型一　函数奇偶性的判断[教材P84例6]例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；(3)f(x)＝x＋；(4)f(x)＝.【解析】　(1)函数f(x)＝x4

7、的定义域为R.因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数f(x)＝x4为偶函数．(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x5为奇函数．(3)函数f(x)＝x＋的定义域为{x

8、x≠0}．因为∀x∈{x

9、x≠0}，都有－x∈{x

10、x≠0}，且f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋为奇函数．(4)函数f(x)＝的定义域为{x

11、x≠0}．因为∀x∈{x

12、x≠0}，都有－x∈{x

13、x≠0}，且f(－x)＝＝＝f

14、(x)，所以，函数f(x)＝为偶函数.奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域，再由奇偶性定义，满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．教材反思函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝

15、x＋1

16、－

17、x－1

18、；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝

19、(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝

20、－x＋1

21、－

22、－x－1

23、＝

24、x－1

25、－

26、x＋1

27、＝－(

28、x＋1

29、－

30、x－1

31、)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－

32、x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)