高中数学第1章三角函数1.3.3函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质讲义苏教版

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1、第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.y＝Asin(ωx＋φ)的性质函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：定义域R值域[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到1．最大值为，周期为，初相

2、为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．y＝sin　[由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝sin.]2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________.2sin　[由题意可知，A＝2，又＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin.]由图象求三角函数的解析式【例1】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，

3、φ

4、<的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．思路点拨：观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．[解]　

5、法一：(逐一定参法)由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，∴ω＝＝2.由点，得－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝3sin.法二：(待定系数法)由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得∴y＝3sin.若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定

6、A

7、.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由，确定ω.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点

8、在上升区间上还是在下降区间上).②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为“第五点”为ωx＋φ＝2π.③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．[解]　法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为，

9、最小值为－，又A>0，∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.又＝，∴图象上的最高点为，∴＝sin，即sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，φ＝－＋2kπ，可取φ＝－，∴函数的一个解析式为y＝sin.法二：(五点对接法)由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得∴函数的一个解析式为y＝sin.法三：(图象变换法)由图可知A＝，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.∴该函数的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到，∴所求函数的一个解析式为y＝sin2，即y＝sin.y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质[探究问题]1．函数y＝

10、Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？提示：由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？提示：均相差半个周期．【例2】　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，

11、φ

12、

13、<的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.求函数解析式．思路点拨：由图象过P和离P最近的最高点可求A、ω，由是最高点及

14、φ

15、<可求得φ的值．[解]　(1)∵图象最高点的坐标为，∴A＝5.∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．代入点，得sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，又∵

16、φ

17、<，∴k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.1．(变结论)本例