高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大（小）值函数的单调性讲义新人教A版

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1、第1课时　函数的单调性学习目标核心素养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养．1．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)结论那么就说函数f(x)

2、在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1

3、(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　)A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)A．y＝－　　B．y＝xC．y＝x2D．y＝1－xD　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]3．函数f(x)＝x2－

4、2x＋3的单调减区间是________．(－∞，1]　[因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]求函数的单调区间【例1】　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝(3)f(x)＝－x2＋2

5、x

6、＋3.[解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数

7、，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x2＋2

8、x

9、＋3＝根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)

10、利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．1．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数；(2)写出y＝

11、x2－2x－3

12、的单调区间．[解]　(1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．(2)先画出f(x)＝的图象，如图．所以y＝

13、x2－2x－3

14、的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．函数单调性的判定与证明【例2】　证明函数

15、f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．[思路点拨]　―→[证明]　设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x10，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1

16、方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号.(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．[证明]　f(x)＝2＋，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，