江苏高考数学一轮复习《三角函数的最值问题》教程学案

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1、____第29课__三角函数的最值问题____1.会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域．2.掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.1.阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2.解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？

2、3.践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题.　基础诊断　1.函数f(x)＝sinx，x∈的值域为__．2.函数f(x)＝sinx－cos的值域为__[－，]__．解析：因为f(x)＝sinx－cos(x＋)＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin(x－)，所以函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为[－，]．3.若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为__2__．解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin.因为0≤x<，所以≤x＋<，所以

3、sin∈，所以当sin＝1时，f(x)有最大值2.4.函数y＝2sin2x－3sin2x的最大值是＋1．　范例导航　9考向❶形如y＝asin2x＋bcosx＋c的三角函数的最值　例1　已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解析：(1)f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3－，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝

4、时，f(x)取最小值－.已知sin＝，A∈.(1)求cosA的值；(2)求函数f(x)＝cos2x＋sinAsinx的值域．解析：(1)因为

5、＋k的三角函数的最值　例2　已知函数f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1.(1)求当函数f(x)取得最大值时，x的取值集合；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解析：(1)因为f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1＝2cosx－sin2x＋sinxcosx＋1＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinx·cosx＋1　＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2(sin2x＋cos2x)＋1＝2sin＋1.由2x＋＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝kπ＋，k∈Z

6、，9所以函数f(x)取得最大值时，x的集合为{x

7、x＝kπ＋，k∈Z}．(2)由x∈，得2x＋∈，所以≤sin(2x＋)≤1，所以＋1≤f(x)≤3，故f(x)的值域为[＋1，3]．【注】对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如y＝Af(ωx＋φ)＋B的形式，确定变量x取值的集合通常由等式ωx＋φ＝2kπ＋θ，k∈Z解出x.已知函数f(x)＝sin＋2cos2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1)因为f(x)＝sin＋2cos2ωx－1＝＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ω

8、x＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－.　【变式题】9已知函数f(x)＝sin＋cosx.(1)求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x的集合；(2)若α∈，f＝，求f(2a)的值．解析：(1)f(x)＝sin＋cosx＝sinx＋cosx＝＝sin，所以f(x)max＝.此时，x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z.故当f(x)取得最大值3时，x的集

9、合为{x

10、x＝2kπ＋，k∈Z}．(2)由f＝sin(α＋)＝，　得sin＝，所以cosα＝，sinα＝，α∈，所以f(2α)＝sin＝