江苏高考数学一轮复习《三角函数的恒等变形与求值（2）》教程学案

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1、____第26课__三角函数的恒等变形与求值(2)____1.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角公式．2.能用公式进行化简、求值及证明.1.阅读：阅读必修4第102～122页．2.解悟：①两角和差余弦公式“同名相乘，符号相反”，两角和差正弦公式“异名相乘，符号相同”，两角和差正切公式“分子同，分母反”；②二倍角公式中“倍角”是相对的；③注意公式的“正用、逆用、变形使用”，牢记“角优先”，弄清已知角和所求角之间的联系；④辅助角公式．3.践习：在教材的空白处完成必修4第106页练习第4题、第109页练

2、习第8题、第111页练习第1题、第117页练习第3题、第123页练习第2题.　基础诊断　1.已知<α<π，sinα＝，tanβ＝，则tan(α－β)＝__－2__．解析：因为<α<π，所以cosα<0，所以cosα＝－，tanα＝－，则tan(α－β)＝＝＝－2.2.计算：＝____．解析：因为tan15°＝tan(45°－30°)＝＝，所以原式＝＝＝.3.已知tanθ＝2，则cos2θ＝__－__．解析：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－.84.已知cos＝，θ∈，则cosθ＝____．解析：

3、因为cos＝，θ∈，所以sin＝＝，所以cosθ＝cos＝cos＋sin＝.　范例导航　考向❶化简与求值问题例1　(1)化简：tan＋tan＋tantan；(2)计算：.解析：(1)原式＝tan·＋tan(－θ)tan(＋θ)＝.(2)因为sin50°(1＋tan10°)＝sin50°×＝sin50°×＝1，cos80°＝sin10°＝sin210°，所以原式＝＝＝.(1)化简：＝cos__10°；解析：原式＝＝＝cos10°.(2)求值：＝__－4__．解析：原式＝＝＝－4.8【备用题】求值：(1)；(

4、2)4cos50°－tan40°.解析：(1)原式＝＝＝＝.(2)原式＝4sin40°－tan40°＝＝＝＝＝.考向❷给值求值，给值求角的问题例2　已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解析：(1)因为tan＝，所以sinα＝2sincos＝＝＝＝.8(2)0<α<，sinα＝，所以cosα＝.又0<α<<β<π，所以0<β－α<π.由cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝，所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝×＋×＝＝，所以β＝.如果sinα＝

5、，cosβ＝，且α，β为锐角，那么α＋2β＝____.解析：因为sinα＝，cosβ＝，α，β为锐角，所以cosα＝，sinβ＝，所以cos(α＋β)＝×－×＝.又因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，则sin(α＋β)＝＝，故cos(α＋2β)＝cos[(α＋β)＋β]＝×－×＝.又因为α＋2β∈，所以α＋2β＝.考向❸三角函数的综合运用　　例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限，其横坐标为，点B在第二象限，点C(1，0)．(1)设∠COA＝θ，求sin2

6、θ；(2)若△AOB为正三角形，求点B的坐标．解析：(1)由题意得，cosθ＝，则sinθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝.(2)因为△ABO是正三角形，则∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°，cos∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cosθcos60°－sinθsin60°＝，　8sin∠BOC＝sin(θ＋60°)＝sinθcos60°＋cosθsin60°＝，　从而点B的坐标为.如图，在平面直角坐标系中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横

7、坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解析：由条件得cosα＝，cosβ＝.因为α、β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，所以tanα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3，(2)tan2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝－1.8因为α、β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.【备用题】已知锐角α，β，γ满足sinα＋sinγ＝sinβ，cosα－cosγ＝cosβ，求α－β的值．【点评】注意题目目标求α－β的值，先将条件变形为sinα－sinβ＝－sin

8、γ，cosα－cosβ＝cosγ，然后再联想两角差的余弦公式平方相加即可，另外要注意α－β自身的范围．解析：由题意得，sinα－sinβ＝－sinγ<0，①所以sinα