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《近世代数课件--1.5 同态(8-9)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§5同态与同构（8－9节）5.1最初的思想5.2同态映射与性质5.3同态的代数系统5.4可单向传递的性质5.5同构的代数系统及其意义5.1最初的思想如何比较两个代数系统?回忆两个三角形全等的定义:经过运动,顶点可以重合.这里涉及两个步骤:第一,点间有一个对应(映射);第二,对应后可以重合.我们比较两个代数系统和.第一,我们需要一个映射;第二,这个映射还能够使“运算重合”或曰：保持运算.具体的说,假如和是的两个元,那么和都有意义,都是的元.保持运算即下面等式成立:上面的等式即:换一种表示，假定在之下的像，5.2同态映射与性质注:同态映射简称为态射.＝{所有整数},的代数运
2、算是普通加法.,的代数运算是普通乘法.定义1一个到的映射称为对于代数运算和的同态映射,假如,,都有:定义与例子例1证明(是的任一元)是一个到的同态映射.证明……例2:,若是偶数,若是奇数证明:是一个到的满射的同态映射.证明:显然,是到的满射.对于的任意两个整数和来说,分三种情况:(1)若,都是偶数,那么也是偶数,,所以,(2)若,都是奇数……(3)若和奇偶性相反,……….例3:(是的任一元)固然是一个到的映射,但不是同态映射.因为,对于任意的和来说,定义2(1)单同态:(2)满同态:(3)同构映射:进一步的定义性质1设是三个代数系统,并且是两个同态映射(单同态、满同态、
3、同构映射).那么,仍然是同态映射(单同态、满同态、同构映射)性质性质2设是一个同构.那么，也是一个同构.证明:(1)是双射(2)保持运算.看一个关键等式性质1（1）反身性:（2）传递性:注:对称性不成立5.3同态的代数系统定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同态满射,就称和同态.记号:5.4可单向传递的性质定理1假定,对于代数运算和来说,到同态.那么,（1）若适合结合律,也适合结合律；（2）若适合交换律,也适合交换律.于是证明我们用来表示到的同态满射.（1）假定是的任意三个元.由于是同态满射,我们在里至少找得出三个元,,来,使得在之下,(2)同学们按照上面的方法,给出
4、证明.注:这种通过同态映射过渡的方法在证明具有一般性定理2假定,都是集合的代数运算,都是集合的代数运算,并且存在一个到的满射,使得与对于代数运算来说同态,对于代数运算来说也同态.那么(1)若适合第一分配律,也适合第一分配律.(2)若适合第二分配律,也适合第二分配律.证明……注:,由的性质可以推出具有同样的性质;反过来不成立.5.5同构的代数系统及其意义定义定义和是两个代数系统,如果存在一个到的同构映射,就称和同态.记号:自同态、自同构的概念可以自然的给出，同学们自己做。同构的代数系统意味什么例1,．012012120201345345345453534012各是与的代数
5、运算与的表．请比较两个运算表,方向异同之处?在A的运算表,进行变换:变成了什么?．它们可以用统一成为一个运算表……..小结现在我们看两个任意的，对于代数运算和来说是同构的集合和．我们可以假定，并且在与间的同构映射之下，，，，…由于同构映射的性质，我们知道，抽象地来看，与这两个代数系统，没有任何区别（只有命名上的不同而已）.作业:P23:1P26:1,3
