第二章+自动控制系统原理的数学模型分析

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1、第二章自动控制系统的数学模型第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图第二节典型环节第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取第四节自动调节器的基本动作规律小结课题：第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图目的、要求：1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法；2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质；3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点：运用微分方程建立数学模型系统微分方程自动控制系统中最基本的数学模型建立微分方程式的一般步骤是：①确定系统的输入量和输出量。②根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间

2、变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。④将该方程整理成标准形式。微分方程建立举例(1)【例2-1】RC电路（1）确定输入、输出量输入量为电压，输出量为电压。（2）根据基尔霍夫定律，列出原始微分方程（2-1）（2-2）（3）消除中间变量(2-3)（4）整理为标准形式)(2-4)一阶常系数线性微分方程微分方程建立举例(2)【例2-2】机械位移系统（1）确定输入、输出量设外作用力为输入量，质量物体的位移为输出量。（2）建立微分方程组根据牛顿第二定律可得:(2-5)(2-6)(2-7)(2-8)微分方程建立举例(2)续（3）消除中间变量将式（2-6），（2

3、-7），（2-8）代入（2-5），得(2-9)（4）将式子标准化(2-10)机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例(3)【例2-3】列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程（1）确定输入、输出量输入量为电压Ui，输出量为电压Uo。（2）列写原始微分方程组(2-12)(2-13)微分方程建立举例(4)例2-4求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。单容水箱（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。（2）根据物质守恒定律，列出微分方程（3）消除中间变量并将式子标准化处理得解：其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例(5)

4、求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程。容器2（1）确定输入、输出量输入量为流入量Q1，输出量液面高度H2。（2）根据物质守恒定律及流量近似公式，列出微分方程（3）消除中间变量并将式子标准化处理得二阶常系数线性微分方程传递函数自动控制系统中最常用的数学模型传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引伸出来的概念。传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t≤时的值也均为零。传递函数的一般表达式如果系统的输入量为，输出量为，并由下列微分方程描

5、述在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得（2-25）、—传递函数的分子、分母多项式求单容水箱系统液位H1与输入流量Qi动态方程的传递函数已知动态方程是：令对上式两边进行拉氏变换并化简得：最后整理得传递函数及方框图如下：求双容水箱系统液位与输入流量动态方程关系的传递函数。系统的动态方程是：将、代入上式得：两边进行拉氏变换得：整理得：传递函数的性质（一）①传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系。对于一个确定的系统，则它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。②传递函数是复变量s的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数都是实数，它们是由组成系

6、统的元件的参数构成的。由式（2-25）可见，传递函数完全取决于其系数，所以传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为自变量的微分方程，则称为时间域模型）。传递函数的性质（二）③传递函数是一种运算函数。由可得。④传递函数的分母多项式等于零[]，即为微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。通常n≥m。⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反

7、之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。返回课题第二节典型环节任何一个复杂的系统，总可以看成一些典型环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系。目的、要求：1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框图、动态响应。2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节比较环节1.微分方程2.传递函数与方框图方框图如图a所示。3.动态响应当时（2-27）图a图b比例环节的阶跃响应如