指数与指数函数课件

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1、第5课时　指数与指数函数1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果，那么x叫做a的n次实数方根n＞1且n∈N＋当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个，负数的n次实数方根是一个零的n次实数方根是零当n为偶数时，正数的n次实数方根有，它们互为±负数没有偶次方根xn＝a正数负数两个相反数a2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是0【思考探究】1.分数指数幂与根式有何关系？提示：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．(2)有理指数幂的运算性质①aras＝(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝(a＞0，r、s∈Q

2、)；③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr3．指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞0，且a≠1)图象0＜a＜1a＞1图象特征在x轴，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升上方(0,1)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)性质定义域值域单调性函数值变化规律当x＝0时，当x＜0时，；当x＞0时，当x＜0时，；当x＞0时，R(0，＋∞)递减递增y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1提示：关于y轴对称．1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0且a≠1

3、答案：C解析：设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)图象过(2,2)点可知，a2－1＝2，∴a＝2.∴f(x)＝2x.答案：A3．设函数f(x)＝a－

4、x

5、(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)答案：A答案：－1答案：(0，＋∞)指数幂的化简与求值的原则及结果要求(1)化简原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．(2)结果要求①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给

6、出，则结果用分数指数幂表示；③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂．1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．若曲线y＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：作出曲线和直线的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线y＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得y＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈(－∞，1]．答案：(－∞，1](

7、2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝af(x)的值域．2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．(2)当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增

8、函数，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，∴f(x)为增函数．故当a＞0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．2．指数函数对指数函数定义的理解(1)指数函数y＝ax的底数a需满足a＞0，且a≠1.(2)指数函数的外形只能是y＝ax，像y＝kax(k≠0，k≠1)、y＝ax＋b(b≠0)等都不是指数函数，虽然它们可以由y＝ax的图象通过适当变换得到．通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中地位并不非常突出．主要以选择题和填空题的形式出现，综合性较高．整

9、个命题过程源于教材，又高于教材，是教材中问题的延伸、变形与组合，整个命题过程主要侧重以考查指数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小、解简单的指数不等式等．(2010·陕西卷)下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数【全解全析】序号结论理论A×∵(x＋y)α≠xα·yα，∴幂函数f(x)＝xα不具有此性质．B×∵loga(x＋y)≠logax·logay，∴对数函数f(x)＝logax不具有此性质．C√∵ax＋y＝ax·ay，∴指数函数f(

10、x)＝ax具有此性质．D×∵cos(x＋y)≠cosx·cosy，∴余弦函数y＝cosx不具有此性质.答案：