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《解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第二章轨迹与方程§2.1平面曲线的方程1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点M在轨迹上的充要条件是MA1MB。设M的坐标(x,y)有21(x(x3)2y26)2y2化简得(x6)2y2362故此动点M的轨迹方程为(x6)2y236此轨迹为椭圆2.有一长度为2a(a＞0）的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。A，B为两端点，M为此线段的中点。解：如图所示设.则xyA(x,o),B(o,y)M(,在AOB中有).Rt22(x2y2)(2a)2.把M点的
2、坐标代入此式得:(x2y2)a2(x0,y0).∴此线段中点的轨迹为(x2y2)a2.3.一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴,两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:AMBMm2.设M(x,y)在RtBNM中(ax)2y2AM2(1)在RtBNM中.(ax)2y2BM2(2)由(1)(2)两式得:.(x2y2)22a2(x2y2)m4a4.4.设P,Q,R是等轴双曲线上任意三点,求证PQR的重心H必在同一等轴双曲线上.证明:设等轴双曲线的参数方程为xctcP(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y
3、3).重心Hyt(x1x2x3,y1y2y3)335.任何一圆交等轴双曲线xyc2于四点P(ct1,c),Q(ct2,c),R(ct3,c)及S(ct4,c).那么t1t2t3t4一定有t1t2t3t41.证明:设圆的方程x2y22Dx2EyF0.圆与等轴双曲线交点(ct,c),则代入得t22c22Dct2EcF0.整理得:242Dct3Ft22Ectc20.可知ctt2tct(i1,2,是3它的四个根,则有韦达定理t1t2t3t4(4c21.1)2c8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.111⑴y2x3;⑵x2y2a2,a0;⑶x3y33axy0,a0.2解:⑴
4、xt3yt令xacos411得y2a2参数方程为111,代入方程x2y2a211a2cos2a2sin2,yasin4xacos4.yasin4⑶令ytx,代入方程x3y33axy0得1t3x33atx20x21t3x3at0x0或x3at1t3当x0时,y0;当x3at3at21t3时,y1t33atx3故参数方程为1t.3at2yt31§2.2曲面的方程1、一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)CMAz亦即(x4)2y2z2z(x4)2y20由于上述变
5、形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x4)2y202、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为x轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m，二定点的距离为2a，则二定点的坐标为(a,0,0),(a,0,0)，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)C(xa)2y2z2m(xa)2y2z2亦即(xa)2y2z2m2[(xa)2y2
6、z2]经同解变形得：(1m2)(x2y2z2)2a(1m2)x(1m2)a20上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为C，则M(x,y,z)C(xc)2y2z2(xc)2y2z22a亦即(xc)2y2z22a(xc)2y2z2两边平方且整理后，得：(a2c2)x2a2y2a2z2a2(a2c2)（1）ac令b2a2c2从而（1）为b2x2a2y2a2z2a2b2即：b2x2a2y2a2z2a2b2由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标
7、系，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)C(xc)2y2z2(xc)2y2z22a类似于（2），上式经同解变形为：x2y2z2ab212c2其中b2c2a2(ca)（*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,c)，再令距离之比为m。设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则M(x,y,z)Cx2y2z2mz将上述方程经同解化简为：x2y2(1m2)z22czc20（*）（*）即为所要求的轨迹方程。3.求下列各球面的方程：（1）中心(2,1,3)，半径为；R6
