《悖论与数学文化》PPT课件

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1、悖论与数学文化曹伟涛02A11416“要怀疑一切，才能有所发现！”——古希腊数学家什么是悖论？悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。——百科名片二律背反antinomy（两个显然令人信服的原理之间的，或者从它们正确地导出的推论之间的矛盾）一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理

2、论）我们的悖论(严格意义上的)paradox（悖论一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬））看起来与常识矛盾或者对立的，然而可能是正确的命题谬论fallacy（从错误的开始或错误的推理中得到的错误的骇人听闻的结论）一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾在康德的哲学概念中，二律悖反指对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象康德在《纯粹理性批判》中提出了理性在宇宙论问题上的四组二律背反：①正题：世界在时间上有开端，在空间上有限；反题：世界在时间上

3、和空间上无限。②正题：世界上的一切都是由单一的东西构成的；反题：没有单一的东西，一切都是复合的。③正题：世界上有出于自由的原因；反题：没有自由，一切都是依自然法则。④正题：在世界原因的系列里有某种必然的存在体；反题：里边没有必然的东西，在这个系列里，一切都是偶然的。第一组二律悖反，说宇宙在时间上是有限的和无限的可以证明。如他用归谬法（归谬法是通过一个命题导出一个荒谬的结论而否定该命题的一种方法）进行证明：因为如果承认宇宙在时间上是无限、没有开端的，那么就等于说到了一个时间点上（比如到目前为止），一段

4、无限的时间序列已经结束了，但这是不可能的，因为“无限”就是没有结束之意，怎能说无限的时间结束了呢？由此看来，时间只能是有限的；另一方面，如果承认时间有限，则等于说，宇宙在时间上有个开端，在此以前宇宙还不存在，这也就等于在开端之前，时间是空的，而在空的绝对时间中是不可能形成万物和世界的，所以，宇宙在时间上有个开端是不可能的，因此说时间是无限的。这种证明说明宇宙在时间上是无限的和有限的这两个命题都是正确的。空间是无限的与有限的这两个命题也同样可以证明都是正确的。back双生子佯谬你和你的双胞胎兄弟是同时

5、出生的,假设你现在出发进行空间航行,飞船的速度接近光速(c),而你的兄弟留在地球上,因为速度接近光速,所以在地球上的兄弟看来,你的时间流逝的比较慢,这样在你返回的时候将会发现他比你衰老.虽然这似乎和常识相抵触,但一系列实验已经证明在这个场景中旅行的你确实比你的兄弟更年轻些。这个结果似乎与狭义相对论矛盾：双生兄弟中的每一个人都认为对方相对于自己运动，因此由于时间膨胀的作用，每一个人都认为对方应该比自己年轻。狭义相对论指出所有观测者都有同等意义，没有任何一个参考系（frameofreference）是会

6、获得优待的。因此旅行者会预期回到地球后会看见比他更年轻的双生兄弟，但这就与他兄弟的想法恰好相反。但实际上旅行者的期望是错误的：狭义相对论并没有说所有观测者都有同等意义，而是只有在惯性系中的观测者（即没有进行加速运动的观测者）才有同等的意义。但宇宙飞船在旅途中亳无疑问是至少加速过一次的，所以旅行者并不是惯性系。反之，留在地球上的兄弟在整个航程中都是在惯性系之中（如果忽略源自地球质量及移动所带来的相对较小的加速度），所以他能够把他跟他兄弟分辨开来。back这句话的英语原文是“Everythingisim

7、pliedbyafallacy”，是逻辑学中的一条定理，也称为“由任何一句假话都可以推出任何一句话”，形式化的表述是(非P)→(P→Q)。“由谬论可以推出任何一句话”的概念是罗素最先提出的。他举了一个荒谬的例子“如果1+1=3，那么罗素是教皇”，并给出了“证明”：根据自然数3的定义，3=2+1，但已知1+1=3，所以1+1=2+1，利用等量公理得到1+1-1=2+1-1，即1=2；考虑集合{罗素，教皇}，这个集合的元素个数为2，但是已证1=2，所以也可以说这个集合的元素个数为1，由此可以得出罗素=教

8、皇，证毕。通过这个例子，可以给出对于“逻辑蕴含”（即“推出”）的形式定义：“P→Q当且仅当Q为真或P为假”。由谬论可以推出任何一句话我们再来看一个有趣的悖论----亚里士多德的轮子悖论如图，轮子上有两个同心圆，轮子滚动一周，从A点移动到B点。这时，

9、AB

10、相当于大圆的周长，此时，小圆也正好转动一周，并走过了长为

11、AB

12、的距离。这表明，小圆的周长也是

13、AB

14、！由此我们甚至可以推论，所有的圆都是没有半径的点！轮子滚动一周　＝＞　大圆周长＝

15、AB

16、小圆走过的长为

17、AB

18、的距