2019-2020年高中数学 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积教案 新人教B版必修2

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1、2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积教案新人教B版必修2教学分析　　　　　本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式．利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积．直接给出了球的体积公式．值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”．三维目标　　　　　1．掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力．2．能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力．重点难点　　　　　教学重点：体积的计算和应用．教学难点：体积公式的

2、推导．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230

3、.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课　　　　　(1)回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,(2)比较柱体、锥体、台体的体积公式：,V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体的高)；,V锥体＝(S为底面积，h为锥体的高)；,V台体＝(S＋r(SS′)＋S′)h(S′、S分别为上、下底面积，h为台体的高).,你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特

4、殊”形式？讨论结果：(1)棱长为a的正方体的体积V＝a3＝a2a＝Sh；长方体的长、宽和高分别为a、b、c，其体积为V＝abc＝(ab)c＝Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V＝πr2h＝Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V＝Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高．圆锥的体积公式是V＝Sh(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积V＝Sh(S为底面面积，h为高)．由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面

5、面积乘高的.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V＝(S′＋＋S)h，其中S′、S分别为上、下底面面积，h为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．(2)柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由

6、台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如下图：思路1例1如下图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.因为棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高是h，所以棱锥C—A′DD′的体积VC—A′DD′＝×Sh＝Sh.余下的体积是Sh－

7、Sh＝Sh.所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.变式训练　已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积．解：V＝(S上＋S下＋)h＝(42＋82＋)×3＝112(cm3)．即正四棱台的体积为112cm3.例2有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(下图)，共重5.8kg.已知螺帽的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8g/cm3，π≈3.14)?解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差．因为V

8、正六棱柱＝6××12×(12×sin60°)×10＝3×122××10≈3.74×103(mm3)，V圆柱＝3.14×(10÷2)2×10≈0.785×103(mm3)，所以一个螺帽的体积V＝3.74×103－0.785×103≈2.96×103(mm3)＝2.96(cm3)．因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)．答：这堆螺帽约有250个．变