2019-2020年高考数学大一轮复习 2.8函数与方程试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习2.8函数与方程试题理苏教版一、填空题1．若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为________．解析依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点．答案12．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为________．解析依题意得，当x＞1时，lnx＞0，sgn(lnx

2、)＝1，f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，令1－ln2x＝0，得x＝e或x＝，结合x＞1，得x＝e；当x＝1时，lnx＝0，sgn(lnx)＝0，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，符合；当0＜x＜1时，lnx＜0，sgn(lnx)＝－1，f(x)＝－1－ln2x.令－1－ln2x＝0，得ln2x＝－1，此时无解．因此，函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为2.答案23．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函

3、数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是________．解析依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.答案84．设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析　设y＝x与y＝lnx，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞

4、)内仅有两个零点．答案　0,25．设函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为________．解析　设y＝f(x)与y＝log4x，分别画出它们的图象，得有2个交点，所以函数g(x)的零点个数为2.答案　26．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．　解析　画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即y＝f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0＜m＜1.答案　(0,1)7．方程log2(x＋4)＝2x的根有________个．解析作函数y＝log2(x＋

5、4)，y＝2x的图象如图所示，两图象有两个交点，且交点横坐标一正一负，∴方程有一正根和一负根．答案28．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．解析　因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2

6、解析　如图，若y＝kx＋1与y＝lnx相切于点P(x0，y0)，则解得x0＝e2，k＝.欲使方程有解，则y＝kx＋1与y＝lnx有公共点，所以k≤.答案　10．已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，g(x)＝1－x＋－＋－…－，设F(x)＝f(x＋3)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a＜b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________．解析　由f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2010＝，则f′(x)＞0，f(x)为增函数，又f(0)＝1＞0，f(－1)＜0，从而f(x)的零点在(－1,0)上；

7、同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，∴F(x)的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要使区间[a，b]包含上述区间，则需(b－a)min＝9.答案　9二、解答题11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根

8、，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋(x>0)和f(x)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1