2019-2020年高中数学 2.5 向量的应用教案 苏教版必修4

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1、2019-2020年高中数学2.5向量的应用教案苏教版必修4●三维目标1．知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．(教师用书独具)●教学建议关于向量方法在平面几何及物理中的教

2、学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．●教学流程⇒⇒⇒⇒课标解读1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图2－5－1　如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求

3、：(1)

4、F1

5、，

6、F2

7、随角θ的变化而变化的情况；(2)当

8、F1

9、≤2

10、G

11、时，θ角的取值范围．【思路探究】　由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．【自主解答】　(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量＝F1，＝F2，＝－G，则＋＝，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝，∴

12、

13、＝，

14、

15、＝

16、

17、＝

18、

19、tanθ.即

20、F1

21、＝，

22、F2

23、＝

24、G

25、tanθ，θ∈[0，)．由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于时，

26、F1

27、，

28、F2

29、都逐渐增大．

30、(2)当

31、F1

32、≤2

33、G

34、时，有≤2

35、G

36、，∴cosθ≥，又θ∈[0，)．∴θ∈[0，]．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．图2－5－2　如图2－5－2，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知

37、F1

38、＝1，

39、F2

40、＝2，F1与F2的夹角为，求F3的大小．【解】　∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，∴

41、F3

42、＝

43、F1＋F2

44、＝＝＝＝.

45、向量在平面几何中的应用图2－5－3　如图2－5－3所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.【思路探究】　以点D为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ，求出向量与的坐标，分别求出它们的长度判断即可．【自主解答】　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，则A(0,1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(λ，0)．∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，∴

46、

47、＝＝，

48、

49、＝＝，∴

50、

51、＝

52、

53、，∴PA＝EF.　用向量证明平面几

54、何问题的方法，常见有两种思路：(1)向量的线性运算法→→→(2)向量的坐标运算法→→→　已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．【解】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC边的中点．BC＝2，AC＝4.则CD＝1，CE＝2.∴

55、

56、＝＝，

57、

58、＝＝2.·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝4×2＋0＋0＋1×2＝10.设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.故直线AD和BE所夹的锐角的余弦值为.法二　如图所示建立直角坐标系，点C为原点，两直角边为坐标轴．其中点A(0,4)，B(2,0)，D(1,0)，E(0,2)．

59、则＝(1，－4)，＝(2，－2)．∴·＝1×2＋(－4)×(－2)＝10.

60、

61、＝＝，

62、

63、＝＝2.设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.故直线AD和BE所夹的锐角的余弦值为.向量在解析几何中的应用　已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．【思路探究】　一般要先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示，，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．【自主解答】　设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则＝(x，y－b

64、)，＝(a