2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 不等式证明的基本方法导学案 新人教B版选修4-5

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1、1.5.1　比较法在理解比较法的基础上，会用作差、作商两种形式的比较法比较两个代数式的大小，会用比较法证明较简单的不等式.自学导引1.因为a>b⇔a－b>0，要证a>b，只需要证a－b>0，同样要证ab，只需证>1；如果a、b都是负数，要证a>b，只需证<1.基础自测1.下列关系中对任意a1D.>b2解析　ab2>0，∴lga2>lgb2，故选B.答案　B2.已知a>0且a

2、≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P、Q的大小关系是(　　)A.P>QB.P1时，a3＋1>a2＋1，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，当0loga(a2＋1)，综合以上两种情况知P>Q，故选A.答案　A3.设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，且ab≠1，a≠－2.则P、Q的大小关系是________.解析　P－Q＝a2b2＋5－2ab＋a2－4a＝(ab－1)2＋(a－2)2>

3、0，∴P>Q.答案　P>Q知识点1　两代数式大小的比较【例1】已知x0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).●反思感悟：实数大小的比较常用a>b⇔a－b>0或“>1，且b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下

4、一步的符号判断.1.设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小.解　＝aa－b·bb－a＝.当a>b>0时，>1，a－b>0，则>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0<<1，a－b<0，则>1，于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.知识点2　作差比较法证明不等式【例2】设a>0，b>0，求证＋≥a＋b.证明　方法一：左边－右边＝－(＋)＝＝＝≥0.∴原不等式成立.方法二：左边>0，右边>0.＝＝≥＝1，∴原不等式成立.●反思感悟：用比较法证不等式，一般

5、要经历作差(或作商)、变形、判断三个步骤，变形的主要手段是通分、因式分解或配方，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩.2.设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b).因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0.即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.知识点3　作商比较法证明不等式【例3】已知a>b>c>0，求证：aabbcc>(abc)(a＋b＋c).证

6、明　∵＝abc＝a＋·b＋·c＋＝.∵a>b>0，∴a－b>0，>1，∴>1.同理可证>1，>1，∴aabbcc>(abc)(a＋b＋c).●反思感悟：作商后通常利用不等式的性质、指数函数的性质、对数函数的性质来判断商式与1的大小.3.设m＝，n＝，那么它们的大小关系是m________n.解析　＝＝＝＝1，∴m＝n.答案　＝课堂小结1.比较法有两种形式，一是作差；二是作商.用作差证明不等式是最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质.2.步骤是：作差(商)―→变形―→判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断

7、与0的大小关系，为了便于判断，往往把差式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系.3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用.随堂演练1.a、b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是(　　)A.P>QB.Pa，下面比较b，c.b－c＝1＋x－＝＝－<0，∴C最大，故应选C.答案　C3.下列命题：①

8、当b>0时，a>b⇔>1；②当b>0时，a0，b>0时，>1⇔a>b；④当ab>0时，>1⇔a>b，其中真命题有(　　)A.①②③B.①②④C.④D.①②③④解析　①②③正确，④中若a<0时不成立，故选A.答案　A4.若－1，又∵