2019年高考数学总复习 专题6.3 等比数列及其前n项和导学案 理

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1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数).2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首

2、项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.5．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am

3、·an＝ap·aq＝a.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．(4)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列.(5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(6)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n

4、－S2n仍成等比数列，其公比为qn.典型例题考点一　等比数列基本量的运算【例1】(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)A．1　　　　　B．－C．1或－D．－1或【答案】C【解析】根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.(2)[2017·江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.【答案】　32【解析】　设{an}的首项为a1，公比为q，则两式相除得＝＝，解得所以a8＝×

5、27＝25＝32.(3)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.【答案】6规律方法　1.等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．【变式训练1】　(1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，

6、共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】　B【解析】　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.（2）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4等于(　　)A．63或120B．256C．120D．63【答案】　C【解析】　由题意得解得或

7、又<1，所以数列{an}为递减数列，故设等比数列{an}的公比为q，则q2＝＝，因为数列为正项数列，故q＝，从而a1＝64，所以S4＝＝120.故选C.3．[2017·北京高考]若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.【答案】1【解析】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.4.已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8

8、，则数列{an}的前n项和等于__________．【答案】　Sn＝2n－1.【解析】设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.5.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________.【答案】an＝2n－1.【解析】解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7