2018高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理学案 苏教版必修5

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1、正弦定理一、考点突破知识点课标要求题型说明正弦定理1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理。2.能运用正弦定理解三角形。填空题解答题高考常考既可以单独考查正弦定理，也可以与其它知识（如向量、三角函数）综合进行考查。二、重难点提示重点：正弦定理的运用（解三角形，判定三角形的形状，解决实际生活中的问题）。难点：判定三角形解的情况。1.正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法正弦定理的证明方法较多，但都离不开化斜三角形为直角三角形这一基本思想，同时需要分类讨论。2.正弦定理的内容及其常

2、见变形内容：（三角形的各边和它所对角的正弦之比相等）。变形：（1）；（2）；（3）其它变形。3.正弦定理解斜三角形的两种类型（1）AAS、ASA；（2）SSA。4.已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况试一试：分别满足如下条件，试判定解的情况。（1）已知；（2），，；（3）已知。小结：已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边和角时，怎样判断解的个数?（1）求小边所对的角时，有一个解。（2）求大边所对的角时，若所求的正弦值等于1时，有一个解；若所求的正弦值小于1时，有两个解；若所求的正弦值大于1

3、时，没有解。此外，三角形的解的情况也可以结合图形进行思考。例题1（天津高考）在中，A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=。思路分析：两个已知条件需要统一化为边（或角）的关系，一种是均化为边，需要对C=2B两边同时进行正弦变形，再运用正弦定理求解；另一种思路是均化为角，即8b=5c直接运用正弦定理化为，再进行求解。答案：解：因为，所以。根据正弦定理有，又8b=5c，所以。得，则。另解：8b=5c，由正弦定理得：，得，从而。例题2（江苏高考）在中，已知。（1）求证：；（2）若求A

4、的值。思路分析：本题一个题设两个小问，而且第1问的结论对于第2问显然成立。首先将向量的数量积表示为三角形的边角关系，运用正弦定理将边化为角，第一问可以证出。第2问的求解，必须解决两个角度的问题，一是角C与角A、B的关系，二是余弦与正切的关系，进而尝试求特殊角A的值。解：（1）证明：因为，所以，即，由正弦定理得，知同正，故得。（2）解：由得，则，结合第（1）问的结论，解关于的方程组消掉tanB，得，因为，故。技巧点拨：本题要体会在三角函数求值时取正切的优越性，考虑答案的取舍及推理的规范，善于发现两小问的

5、联系，并能进行三角与向量的综合。【方法提炼】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=。（1）求tanB的值；（2）若，求△ABC的面积。思路分析：1.正弦定理可以灵活实现边角的互化，本题显然是化边为角。2.在三角形中，求解三角函数的值通常需要消掉一个角（消“元”），消哪一个角既要有全局意识，有时还需要反复尝试。本题先消C有利于变形。3.第2小问实质上是一个广义的解三角形问题，即已知三个等量关系求解三角形。解题时要充分重视第一问的提示功能。答案：解：（1）由

6、正弦定理，得，即。展开得，所以。因为，所以。又，由（1）知，，解得。（2）由（1），得，，，由正弦定理，得，所以△ABC的面积为。技巧点拨：两角和、差的三角函数问题，正切的运算量通常要小于正弦或余弦。【易错警示】在锐角中，则的取值范围是。错解：本题容易想到化边为角，结合正弦定理得，由得AC的范围是（0，2）。错因分析：第一种错误是没有想到运用三角函数的有界性，对此可适当加强解题方法的总结；第二种错误是求角A的范围时，漏掉了B、C都是锐角的条件，掉到题目设计的陷阱中。正解：根据三个角都是锐角，列出三个不

7、等式组，由B=2A，消元得A的范围，故AC的范围是。