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时间:2019-11-14
《2019高考数学二轮复习 高难拉分攻坚特训4 文》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高难拉分攻坚特训(四)1.设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+1,且Sn=1350.若a2<2,则n的最大值为( )A.51B.52C.53D.54答案 A解析 因为an+1+an=2n+1 ①,所以an+2+an+1=2(n+1)+1=2n+3②,②-①得an+2-an=2,且a2n-1+a2n=2(2n-1)+1=4n-1,所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项,2为公差的等差数列,数列{an}的偶数项构成以a2为首项,2为公差的等差数列,数列{a2n-1+a2n}是以4为公差的等差数列,所以Sn=当n为偶数时,=1350,无解(因
2、为50×51=2550,52×53=2756,所以接下来不会有相邻两数之积为2700).当n为奇数时,+(a1-1)=1350,a1=1351-,因为a2<2,所以3-a1<2,所以a1>1,所以1351->1,所以n(n+1)<2700,又n∈N*,所以n≤51,故选A.2.如图,平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部,AB=1,BC=,AC=CD,AC⊥CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为________.答案 3解析 设∠ABC=θ,θ∈(0,π),则由余弦定理得AC2=3-2cosθ,由正弦定理得=,得sin∠ACB=.在△DCB中,由余弦
3、定理可得,BD2=CD2+2-2CDcos=AC2+2+2ACsin∠ACB=3-2cosθ+2+2AC×=5+2(sinθ-cosθ)=5+4sin,当θ=时,max=1,∴BD=9,∴BDmax=3.3.已知F是抛物线C:x2=2py,p>0的焦点,G,H是抛物线C上不同的两点,且
4、GF
5、+
6、HF
7、=3,线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4),Q(0,8),曲线D上的点M满足·=0.(1)求抛物线C和曲线D的方程;(2)是否存在直线l:y=kx+m分别与抛物线C相交于点A,B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S,T(S在T的左侧),使得△OAT与△OBS的
8、面积相等?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.解 (1)由抛物线定义知+=,得p=,故抛物线的方程为x2=y.由·=0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆,其方程为x2+(y-6)2=4.(2)由△OAT与△OBS的面积相等得
9、AT
10、=
11、BS
12、,则
13、AS
14、=
15、BT
16、,设A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),由=(x3-x1,y3-y1),=(x2-x4,y2-y4),且=得x3-x1=x2-x4,即x1+x2=x4+x3.(ⅰ)当直线l的斜率为0时,l的方程为y=m,此时只需点(0,m)在圆D内即可,此时417、线l的斜率不为0时,由方程组得x2-kx-m=0,因为直线l与抛物线交于A,B两点,所以Δ=k2+4m>0,①且x1+x2=k.由方程组得(1+k2)x2+2k(m-6)x+(m-6)2-4=0,直线l与圆D交于S,T两点,所以圆心D(0,6)到直线l的距离d=0,∴-218、)的单调区间;(2)若x=2为函数f(x)的一个极值点,且对任意的x≥0,f(x)≥ex(3-x)恒成立,求实数b的取值范围.解 (1)f′(x)=6x2-6x+a.①当a≥时,f′(x)=62+a-≥0恒成立,所以函数f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.②当a<时,令f′(x)=0,即6x2-6x+a=0,解得x1,2==.当x<或x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为,;单调递减区间为.综上,当a≥时,函数f(x)的单凋递增区间为R,无单调递减区间;当a<时,函数f19、(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由x=2为函数f(x)的一个极值点,得f′(2)=6×22-6×2+a=0,解得a=-12,故f(x)=2x3-3x2-12x-b.不等式f(x)≥ex(3-x)可化为2x3-3x2-12x-b≥ex(3-x),即b≤2x3-3x2-12x-ex(3-x).记g(x)=2x3-3x2-12x-ex(3-x),则g′(x)=6x2-6x-12-ex(3-x-1)=6(x-2)(x+1)+ex(x-2)=(x-2)(6x+6+ex).当x≥0时,6x+6+ex>0,所以当x∈[0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单凋
17、线l的斜率不为0时,由方程组得x2-kx-m=0,因为直线l与抛物线交于A,B两点,所以Δ=k2+4m>0,①且x1+x2=k.由方程组得(1+k2)x2+2k(m-6)x+(m-6)2-4=0,直线l与圆D交于S,T两点,所以圆心D(0,6)到直线l的距离d=0,∴-218、)的单调区间;(2)若x=2为函数f(x)的一个极值点,且对任意的x≥0,f(x)≥ex(3-x)恒成立,求实数b的取值范围.解 (1)f′(x)=6x2-6x+a.①当a≥时,f′(x)=62+a-≥0恒成立,所以函数f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.②当a<时,令f′(x)=0,即6x2-6x+a=0,解得x1,2==.当x<或x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为,;单调递减区间为.综上,当a≥时,函数f(x)的单凋递增区间为R,无单调递减区间;当a<时,函数f19、(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由x=2为函数f(x)的一个极值点,得f′(2)=6×22-6×2+a=0,解得a=-12,故f(x)=2x3-3x2-12x-b.不等式f(x)≥ex(3-x)可化为2x3-3x2-12x-b≥ex(3-x),即b≤2x3-3x2-12x-ex(3-x).记g(x)=2x3-3x2-12x-ex(3-x),则g′(x)=6x2-6x-12-ex(3-x-1)=6(x-2)(x+1)+ex(x-2)=(x-2)(6x+6+ex).当x≥0时,6x+6+ex>0,所以当x∈[0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单凋
18、)的单调区间;(2)若x=2为函数f(x)的一个极值点,且对任意的x≥0,f(x)≥ex(3-x)恒成立,求实数b的取值范围.解 (1)f′(x)=6x2-6x+a.①当a≥时,f′(x)=62+a-≥0恒成立,所以函数f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.②当a<时,令f′(x)=0,即6x2-6x+a=0,解得x1,2==.当x<或x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为,;单调递减区间为.综上,当a≥时,函数f(x)的单凋递增区间为R,无单调递减区间;当a<时,函数f
19、(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)由x=2为函数f(x)的一个极值点,得f′(2)=6×22-6×2+a=0,解得a=-12,故f(x)=2x3-3x2-12x-b.不等式f(x)≥ex(3-x)可化为2x3-3x2-12x-b≥ex(3-x),即b≤2x3-3x2-12x-ex(3-x).记g(x)=2x3-3x2-12x-ex(3-x),则g′(x)=6x2-6x-12-ex(3-x-1)=6(x-2)(x+1)+ex(x-2)=(x-2)(6x+6+ex).当x≥0时,6x+6+ex>0,所以当x∈[0,2)时,g′(x)<0,函数g(x)单凋
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