《次型及其标准型》PPT课件

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1、第六章二次型6.2化二次型为标准形本节只讨论实数域上的二次型化为标准形的情况实数域上的二次型称为实二次型.一、用可逆线性替换（也称拉格朗日配方）方法化二次型为标准形1、准备定理6.2：数域上的任意一个二次型都可经过可逆线性替换化为标准形.注：显然实数域上的任意一个二次型都可经过可逆线性替换化为标准形.定理6.3：数域上任意对称矩阵都与一个对角矩阵合同.注：显然实数域上任意对称矩阵都与一个对角矩阵合同.2、用可逆线性替换（配方法）化二次型为标准形的步骤⑴若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性替换，就可得

2、到标准形.⑵若二次型中不含平方项，但是，则先作可逆线性替换：化二次型为含有平方项的二次型，然后再按⑴中方法配方.例1：用可逆线性替换化下列二次型为标准形⑴⑵二、用正交替换化二次型为标准形1、准备定理6.4：实数域上的任意一个二次型都可经过可正交替换化为标准形.2、用正交替换化二次型为标准形的步骤⑴写出二次型所对应的对称矩阵，求出的全部特征值；⑶作正交替换，可得的标准形⑵由于是阶的实对称矩阵，求出正交矩阵，使得：为对角矩阵例2：用正交替换将下列二次型化为标准形⑴⑵第六章二次型6.3化二次型为规范形本节只讨论实数域上的二次型化为规范形的情况一、二次型的标准形不是唯一的如：下述二

3、次型⑴经正交替换，其中可使化为标准形：⑵经可逆线性替换可使化为标准形：观察可得：两种标准形中系数不为零的项数是相等的.定理6.5：二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的.二、实二次型的规范形1、惯性定理定理6.6：任一实二次型都可经过可逆线性替换化为规范形，即：其中为二次型的秩，且规范形是唯一的.注：由于规范形唯一，从而是唯一确定的.正惯性指数：将实二次型的规范形中，系数为正的平方项个数称为正惯性指数.负惯性指数：将实二次型的规范形中，系数为负的平方项个数称为负惯性指数.符号差：实二次型的规范形中，正惯性指数与负惯性指数的差（即为）称为的符号差.推论：实二次形

4、的任一标准形中，系数为正的平方项个数唯一确定，等于的正惯性指数，系数为负的平方项个数也唯一确定，等于的负惯性指数.例如：已知一实二次型化为规范形是：于是：二次型的秩正惯性指数负惯性指数符号差定理6.7：任意实对称矩阵与对角矩阵合同.其中：+1和-1的个数共有个；1的个数由唯一确定，称为的正惯性指数.推论2.7：两个阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等.作业习题六P2445：（1）（2）6：（2）7