二次型及其标准型.ppt

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1、向量的内积、长度及正交性1方阵的特征值与特征向量2相似矩阵3对称矩阵的对角化4相似矩阵及二次型二次型及其标准型5正定二次型6第五章相似矩阵及二次型内容概要第五章相似矩阵及二次型二次型及其标准型5.5教学要求1.掌握二次型及其有关概念掌握化二次型为标准型的两种方法正交变换法、配方法5.5二次型及其标准型引例对于一般的二次曲线，只要选取适当的坐标旋转变换就可将曲线方程化为标准型（二次齐次式，只含平方项）在物理、力学及工程也有类似的问题，且往往是不止含有两个变量的二次齐次式，也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的标准型。一二次型有关概念含有n个变量的二次齐

2、次多项式称为n元二次型。定义5.5二次型及其标准型二次型主要问题寻找可逆的线性变换二次型的标准型规范型作可逆变换5.5二次型及其标准型一二次型有关概念5.5二次型及其标准型A为对称矩阵一二次型有关概念（1）A一定是对称阵；（4）标准型的矩阵为对角阵；（5）规范型的矩阵也是对角阵,（2）A的对角线上的元素恰为的系数，对角元只能为1，-1或0。（3）是的系数的一半；5.5二次型及其标准型一二次型有关概念称实矩阵A为二次型f的矩阵。f与A可建立一一对应的关系,即给了二次型，就可以得到实对称矩阵A;反之，给出了一个实对称矩阵A，就可写出一个二次型f。A的秩就是

3、二次型f的秩。一二次型有关概念5.5二次型及其标准型将二次型写成矩阵形式课堂练习答案，并求出f的秩。练习5.5二次型及其标准型二正交变换法前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：寻找可逆的线性变换记得到标准型5.5二次型及其标准型若c为正交矩阵，在正交变换下就可将f转化为标准型二正交变换法5.5二次型及其标准型得到标准型前边提到将二次型化为标准型的主要问题为：寻找可逆的线性变换因为实二次型的矩阵A为实对称方阵，故对任一个n元实二次型，一定可以找到一个正交变换，使得其中C为正交阵为实对称方阵A的特征值。其中如何得到C呢定理5.5二次型及其标准型C的列向量

4、是矩阵A的两两正交的单位向量，其中第j列是j对应的特征向量二正交变换法求正交变换将二次型化为标准形。练习5.5二次型及其标准型课堂练习P130例14练习1合同的定义与性质设A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C，使性质，我们称A与B（1）当C为正交阵时，因而正交相似变换也是合同变换。（2）A与B合同A，B的特征值中正项个数和负项个数相等。定义合同。5.5二次型及其标准型配方法用正交变换法化二次型成标准型，具有保持向量长度不变（设Q为n阶正交阵，y=Qx,则）的优点。如果不限于用正交变换，还有很多方法，下面用配方法分两种情形来讨论。配方法含有平方项xi2不含

5、有平方项xi2，只有交叉项xixj5.5二次型及其标准型化二次型成标准型，并求所用的变换矩阵。解由于f中含变量x1的平方项,故把含x1的项归并起来，配方可得不再含x1继续配方，可得例15.5二次型及其标准型配方法化二次型令即就把f化成标准型（规范型）所用的变换矩阵为5.5二次型及其标准型成标准型，并求所用的变换矩阵。例1配方法解由于f中不含平方项,含x1x2的乘积项，故令代入可得再配方，得令5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例2令即就把f化成规范型5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例2因为

6、x=c1y=c1c2z,故所用的变换矩阵为5.5二次型及其标准型配方法成规范型，并求所用的变换矩阵。化二次型例2小结二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含的项数（系数≠0）确定（即是二次型的秩。在限定变换为实变换时，标准型中正系数的个数是不变的（负系数的个数也不变）。这与选择的线性变换无关。5.5二次型及其标准型求一可逆变换将该二次型化成标准形，并求出规范形。练习25.5二次型及其标准型课堂练习练习25.5二次型及其标准型课堂练习练习25.5二次型及其标准型课堂练习所用的可逆变换为练习2方程在空间直角坐标系下表示什么曲面？5.5二次型及其标准型

7、课堂练习练习3解：由练习1（P130，例14）的标准型为故在空间直角坐标系下表示单页双曲面设二次型试求a，b及经正交变换化成，5.5二次型及其标准型课堂练习练习4经正交变换化成，解：二次型f正交阵Q。意味着f的矩阵A的特征值为0,1,2惯性定理设有二次型，它的秩为r有两个中正数的个数相等。惯性定理可逆变换及使及则中正数的个数与正惯性指数负惯性指数从而负数的个数也相等。设二次型f的正惯性指数为p,秩为r,则f的规范型可确定为5.5二次型及其标准型的秩为正惯性指数为负惯性指数为正（负）惯性指数等于矩阵正（负）特征值的个数，即标准形中正（负）平方项的个数。正

8、（负）特征值的个数与正（负）惯性指数有什么关系？211思考5.5二次型及其标准型惯性定理练习5