《空间向量的运算》课件1(北师大版选修2-1)

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1、空间向量及其运算一、复习1、平面向量的概念2、平面向量的加减和数乘运算1.空间向量的概念在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量注意:⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点到点的一次变换,因此我们说空间任意两个向量是共面的⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2.空间向量的运算结论:空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样(指向被减向量)=a+b,λa运算律:⑴加法交换律:⑵加法结合律:⑶数乘分配律:空间向量加法的运算律要注意以下几点:⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末

2、尾向量的终点的向量.即:⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:.⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.例1已知平行六面体(如图),化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量3.共线向量(平行向量)(1)概念:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b,记作a∥b(2)共线向量定理:aABPOl对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb。推论:如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式a①其中向量a叫做

3、直线l的方向向量。②①或②式都叫做空间直线的向量参数方程(1)概念:已知平面α与向量,作,如果直线OA平行于平面α或在α内,那么我们说向量平行于平面α,记作∥α。通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量说明:⑴空间任意两个向量总是共面的;⑵空间任意三个向量不一定共面;⑶空间四边形ABCD中、、不共面。αOA4.共面向量(2)共面向量定理如果两个向量、不共线,则向量与向量、共面的充要条件是,存在实数对x、y,使=x+y推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y,使=x+y或对空间任一点O,有=+x+y①平面MAB内,点P对应的实数对(x,y)是唯一的,①

4、式叫做平面MAB的向量表达式。例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,试问满足向量关系式=x+y+Z(其中x+y+z=1)的四点P、A、B、C是否共面例3、已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量=k,=k,=k,=k,求证:⑴四点E、F、G、H共面;⑵平面EG∥平面AC。ABCDOEFHG小结:1、空间向量的概念2、空间向量的运算3、共线向量(平行向量)的概念及空间向量共线的充要条件4、共面向量的概念及向量共面的充要条件作业.2.如图设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心。求证:BACDG1.如图是正方体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,求证:这四个点

5、共面。P·S·R··Q

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