专题：函数与导数的复习分析与指导

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1、专题：函数与导数的复习分析与指导主讲人：侯立伟学校：人大附中一、专题内容分析（―）本专题知识体系的梳理函数的概念与表示单调性一1图象语言描述性语言周期性自变量皋函数函数I核心—“F偶性I——I函数的性國_I函数'S思I特维征基本初等函数对数函数符号化语言载体核心已知解析式构追餌析式一利用解析式研究函数性乏方法利用函数图象研究函数性质1-利冃导数工具研究函数性质/(>n)+/(x2)=2a因变量（二）本专题中研究的核心问题培养函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题.函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解

2、决问题的思维策略。简单地说，函数思想就是构造函数，利用函数的性质解决问题。使学生能够揭示数学问题的木质，提升数学的思维水平，增强学习能力，提高数学素养。函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高屮数学的全过程,包括解决儿何问题.在近儿年的高考试卷屮，选择题、填空题、解答题三种题型小每年都有函数试题，考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图彖.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用來解决问题，是考试的热点.③考查运川函数的思想來

3、观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.（三）本专题蕴含的核心观点、思想和方法1、函数与方程的思想：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式组），然后通过解方程或不等式（组）使问题获解2、数形结合的思想:实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维在解题中交互运用。通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。3、分类

4、与整合的思想：在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往将这个问题恰当地划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决。确定分类的标准是分类法的关键。划分时，要注意既不重复，又不遗漏。4、化归与转化的思想:就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题。转化有等价与非等价转化。等价转化耍求转化过程中前因后杲是充要的。非等价转化其过程是充分或必耍的，要对结论进行必要的修正.(如无理方程化有理方程要求验根)转化能给人带来思维的闪光点，找到解题的突破口。2•关于导数的内容微积分是数学屮的重

5、要内容，其思想方法和基本理论冇着广泛的应用，恩格斯称“微积分是17世纪三大发明么一”，是人类智慧的集中体现，微积分的出现,极人的促进了数学和科学技术的发展.微积分在高中阶段介绍了导数、定积分等内容，为屮学数学学习提供了新的方法，同时也提供了重要的思想方法，学生也可以利用导数为工具，来研究函数的性质.《课标》屮对微积分的教学内容明确捉出：“导数概念是微积分的核心概念2—，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.耍求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单

6、调性、极值等性质屮的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”.微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果，是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展起來的关于连续性和无限小量的学说，是继欧几里得几何Z后，数学中的一个最大的创造，关于微积分的辩证思想主要是：(1)常量与变量的辩证思想，(2)有限与无限的辩证思想，(3)以直代曲的辩证思想.切线概念：设Q为曲线C上不同于P点的一点，则直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近P点时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线这吋直线/称为曲线在点y/

7、/P处的切线.导数的几何意义：已知曲线C是函数y=f(x)的图•彖，Pg几)是曲线上一点，通过割线P0的斜率的逼近切线的斜率・点0沿着曲线向点P无限靠近时，也就是说AxtO,那么当ArT0,“兀+心)_/So)t£•切线的斜率为4Ax在学生的学习经验屮，已冇了圆的切线和圆锥曲线的切线的学习经历，对丁曲线的切线有了初步的感受，学会用代数的方法判定曲直线和曲线是否相切•在学生的生活经验中，通过观察透镜的反射现象，能发现曲线的切线和法线的联系,困难之一是正确理解切线的木质特征：割线的极限位置•原因是学牛对于切线的理解限于圆中的切线和圆锥曲

8、线的切线二、典型考题解构关于切线概念的理解例1：直线y=a与函数y=2(x+l)和尹=兀+lnx分别交于两点，贝^\AB

9、的最小值为L5概念的辨析：(1)公共点个数：恰与曲线冇一个公共点的直线未必是切线，切线与曲线未必只冇—•个公共