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1、从问题研究到问题提出的思考200135上海市建平中学虞涛《数学课程标准》关于研究性学习的教学H标学会口主进行学习，独立探究问题；对知识进行系统整理；会对已有的知识经验进行反思、质疑，有发散思维和求异思维的积极心向，能提出自己的独立见解.提出问题不仅有利于促进学牛对数学知识的理解，提高他们的学习兴趣，而且有助于培养学生发现问题的创造潜能，为终身学习和毕生的发展奠定基础.2006年初，上海高考命题提出新的命题理念：对学生研究性学习能力的考查.“不仅考查学牛的解题能力，还要考查学牛提出问题的能力”，來积极推动索质教育的进程•在考试屮，对提岀问题的
2、能力的考杏更是一个新课题.2007年上海市春季高考的第17题就作了人胆地尝试.该题在表述了一个问题的“逆向”问题的概念并举例说明后，给出了解析儿何中的一个棊本问题，要求学生根据口己的理解，提出此问题的一个''有意义的”、“逆向”问题并解答.这实实在在地暗示了考查研究性学习的一个新方向.目前,作为实施素质教育和创新的切入点——提出数学问题正成为屮学数学改革的焦点.下而以人教版高中数学课本第二册(上)第132页和华东师大高中数学课本高二第二学期练习第12页上一道共同的习题作为案例说明在数学教学或数学命题中，从问题研究到问题提出的几种基木形式和一
3、点体验.问题：在椭圆寻存I上求…点P,使它与两4520个焦点的连线互相垂直.一.问题的研究从下面几个方面的展开研究1.命题的基本知识从题设条件得知(1)几何量：°=3局=2屈c=5.(2)点的坐标：P(3,4),焦点(5,0),(-5,0).顶点(3石,0),(-3肩0),(0,2冏,(0,-2同.(3)椭圆上的点P与焦点F血构成的三角形：
4、P耳
5、=4逅
6、P巧
7、=2屈冈可=10或
8、P笃
9、=4厉，卩可=2厉,卩迟
10、=10,S’pfr=20.2.命题的一般化r2v21.在椭圆计+右=l(d>b>o)上求一点P,使它与两个焦点的连线互相垂直.结论
11、:当a>^2b时，xp=-^a2-2b2yp=—.(其中c2=a2-b2)1.在椭圆*+「=l（d>b>0）求一点P,使它与两个焦点的所成的为0（0<0<兀）.3・命题的充要条件4.命题的运动变化状态结论:当点P在第一象限内，从上顶点运动到右顶点时,ZF/打逐渐变小•当点P在上顶点时，ZF}PF2达到最大;当点P在右顶点时，/F,PF2达到最小.4.命题的存在性条件1•若椭圆务+*=l（a>b〉O）的两个焦点为Fl9F2，椭I员1上是否存在点P使它与两个焦点的连线互相垂直.结论：当a>42b（即cM）时，椭圆上存在点P；当a<42b
12、时，椭圆上不存在点P.进一步：当a>^2b（即c>b）时，椭圆上存在4个点P；当a=/lb（即c=b）时，椭圆上存在2个点P；当a<^2h时，椭圆上不存在点P.2.若椭圆$+§=1@>〃〉0）的两个焦点为片迅，在椭圆上是否存在点P使ZF}PF2=0（0<0<71），若存在，这样的点有几个?若不存在，说明理由.结论：当/9<2arccos—时，椭圆上存在4个点P；当0=2arccos—时，椭圆上存在2个点aaP,即短轴的端点;当0>2arccos—时，椭圆上不存在点P.5.命题的类比思考把关于椭圆的命题联想到双曲线，研究类似的命题.r2v2设
13、双1111线为令—右=1（以〉0）.从图象得知以双曲线的两个焦点为玄径的圆与双曲线a1(Jr+c2)冇4组解.因此冇总冇4个交点；从方程的思想得知方程组故方程组结论：若双曲线上必存在4个点P,它与双曲线的两个焦点的连线互相垂直.6.命题的条件变迁改变命题的各种条件，探究相应结论的变化（略）.二.问题提出该问题总接提供了儿个己知信息：①椭圆产+工=1；②两个焦点片（-5,0）,笃（5,0）；③互相垂直.还冇未知信息：④点P的位置处标，以及限制条件：⑤点P在椭圆上.对该问题的不同信息和条件进行变迁，可多角度提出新的问题.1.变迁信息①，提出类似
14、的问题问题1・1若椭圆召+君=1（06<3同上存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求实数b的取值范围.22问题1・2若椭圆二+21=1仗〉6）上存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，求实数acr36'7的取值范围.Fv2问题1.3在椭圆—+^=1上是否存在一点，使它与两个焦点的连线互相垂苴2,2I可题1・4若椭圆—+=14536上存在一点与两个焦点的连线互相垂直,求实数a,h满足的条件.丫2v2问题1.5在双曲线—-^=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.4536［考题链接］兀2、,21.（2001年高考全国卷第14题）双曲线—
15、—二=1的两个焦点为几％点户在双曲线上,916若P尺丄PF2,则点P到X轴的距离为•解说:此题即改变1.5中双曲线方程而得.22.（2004年高考全国III卷第21题）设椭圆丄_
