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1、向量在几何证题中的运用学生姓名阿卜杜合力力•阿不力孜学号：20080101002系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-1班指导教师：完成日期：2013年月日摘要向量是数学中的重要概念Z-O在数学中我们通常用点表示位置，用射线表示方向，几何问题的向量证法是一种新颖的具有很多优点的证题方法，它不但能使问题简化而且还能在证题过程屮使各类知识融合贯通。在本文中主要介绍几种用向量法来证明几何问题的方法。并说明这种方法在解题中的应用和重要性。关键词：向量；向量的线性运算；共线向量；数量积；向量积目录摘要2引言41.向量的线性运
2、算在证题中的运用42•共线点问题错误！未定义书签。3•共点线问题错误！未定义书签。4•共面问题错误！未定义书签。5•向量的数量积在证题中的运用错误！未定义书签。6•向量的向量积在证题中的运用错误！未定义书签。7.三向量的混合积在证题中的运用14参考文献17致谢错误！未定义书签。引言向量在数学和物理中的应用很广泛的一个概念。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解决步骤，大多数问题用向量来解决往往解法简单明快，尤其是用向量法解决三线共点，三点共线等问题比较方便。总之，许多几何证明题用向量法来解间单明快。1.向量的线性运算在证题
3、题中的应用向量的加法，减法，数乘向量统称为向量的线性运算。与向量有关的任何问题都有向量的线性运算。用向量的线性运算解决问题吋，必须注意向量的方向。图例1・证明连结三角形两边屮点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半。证明：如图所示设三角形ABC两边AB,AC之重点分别为M,N则顾二乔丽专心戶冷疋丽二押故5C且心C例2•证明对角线互相平分的四边形是平行U!边形。证明：设平行四边形ABCD的对角线AC与BD和交于M.且互和平分(如图所示)可以看出：__1*11.2石=丽+祈=祈+丽=而+而+就=反因此AB//DCAB即四边形AB
4、CD是平行四边形2共点线问题共点线是指：两个或两个以上的不同直线都相交于同一点，那么称这些直线为共点线。解决此类问题往往用下列两种方法来，欲证三直线厶，厶2,厶共点，可通过下列方法来证明：(1).在三线上取三点，去证这三点关于某定点由相同的定位向量。(2)・如令厶，厶2交于P’，去证点p',p(pwLJ关于某定点由相同的定位向量。例3：平行六面体的四条对角线及四对对棱中点线共八条，证它们必共点。证：如图(3-1),设平行六面体OADB-CGEF的一组对菱DB,GC的中点为M,N且连线中点为P],其他三组对棱中点连线的中点为P
5、2，P3，P40P}=^(omon)
6、*(OD+OB)+[(OG+OC〕cFS3-1再设OA=a.OB=b,OC=c则11一一1-一=—(—d+b+—d+c)同理1一一一+b+c)222■]—*—♦—♦o/严㊁(d+b+c),(i=l,2,3)这说明P，P2，P3，P4四点重合，最后设AF,GB,CD,OE的中点依次为P5，P6，P7，P&则•1■•1—•'•■1—•0P5=-(OA-^-OF)=-(OA^OB-hOC)=-(a+b+c)同理遞=丄（方+乙+：）,（心6,7,8）这说明Pi，P2，“3，P4，P5，P6，
7、P7，P8八点重合，于是命题得证。3•共线点问题共线点问题是指：三个或三个以上的不同点都在同一条宜线上,那么称这些点为共线。解决此类问题往往用两个向量方与b（h0）共点的充要条件为a=2乙或两个向量ci={xvy[}J）={x2.y2共线的充要条件是兀*2一兀2必=°或两个向量。={兀1必,©}^b={x29y29z2}共线的充要条件是X,:y1:Z]=兀2：儿:5来解决。例4：过抛物线y2=2px（p>Q）焦点的直线交抛物线上的两点A,BoC点是在抛物线上的准线上，且Ox//BC.证明直线AC过原点。证明：要证明直线AC
8、过原点A0与AC共线,设人（羊心）,3（辱,弘）从2p2p条件知道C（-（彳,0），一X』2一必因为A,F,B三点共线2222严―)-严・r)2p2p・・・y2工开化简得yry2=-p2^y2P2以••応彳0-备』2-y花」0_丄,0_只2〃7142卩p2+y"p2+y"2pP+)f2p)•(-”)-(-X2p2p・•.A0//AC=>A,0,C在一条直线上。所以直线AC是过原点。例5：试证，三点A,B,C共线点的充要条件是存在不全为零的实数Sy使得久殛+“亦+丫况=0•且兄+“+了=（）,其中0是任意取定的一点。-04)+
9、L证明：必要性，若A,B,C共线则殛与犹共线，所以存在不全为零的实数K,L使得KAB+LAC=()任取一点0,由上式得K(OB即一(K+厶)鬲+K亦+Q况=0令2=—(K+厶)，“=K』=1,贝I」AAB+/jOB+/OC=6且久+“+丫=0充分性，若对某一点o,有不全为零的实数入“』使得
