与圆有关的比例线段课件(人教A选修

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1、1．相交定理圆内的两条，被交点分成的两条线段长的．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝.相交弦积相等PC·PD2．割线有关定理(1)割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的两条，这一点到每条割线与圆的的的积相等．②图形表示：如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：.割线交点两条线段长PA·PB＝PC·PD(2)切割线定理：①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的；②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有.比例中项PA2＝PB·PC3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆

2、的两条切线，它们的，圆心和这一点的连线平分的夹角．(2)图形表示：如图：⊙O的切线PA、PB，则PA＝，∠OPA＝.长相等两条切线PB∠OPB[例1]如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[证明]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·

3、PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段长．解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为(32－x)cm.由相交弦定理得：x(32－x)＝12×16，解得x＝8或24，故另一段长为32－8＝24或32－24＝8，所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm和24cm.证明：[例2]如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD

4、，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC.[思路点拨](1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE.切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB，PE是∠APC的角平分线

5、，故∠EPC＝∠APD，因为PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．5．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B6.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N、P.求证：AD＋BC＝AB＋CD.证明：由圆的切线长定理得CM＝CN，

6、BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)＝AB＋CD，即AD＋BC＝AB＋CD.点击下图进入应用创新演练