构建函数与方程思想进行解题的策略

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1、构建函数与方程思想进行解题的策略函数与方程可进行如下的相互转化：惭数y二f(x)令:爲方WU)=O.探讨一下这一思想方法的实施策略一、从函数中构建方程解题例1(05北京，文)为了得到函数y=2"_l的图彖，只需把函数y=2"的图象上所冇的点A,向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B,向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C,向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D,向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解：把函数y=2”的图彖上所有的点，向右平移。个单位长度，再向上平移b个单位长a3度，得到函数y-b=r~的图象，将y=V--变形有y+l=2

2、_3,两式对比得,即r=3>°,于是，选A。一/?=+1/?=-1<0评析：本题中，我们将一个动态的问题，通过构建方程(组)，把它静态的解决掉了.对向右平移a个单位y-b=f{x-a).(a>0吋,表示向右平移,向上平移b个单位于函数图彖的变换问题，我们常运用如下手法构建方程(组)，进行通式求解：横坐标伸心到原来的m倍1(2)y=fM/(—x).(加〉1时,m表示仲长,横坐标伸长到原来的n倍d<0时，表示向左匚平移)；b>0吋，表示向上平移，方<0时，表示向下平移.)01时,表示伸长，0

3、f(x)=ax-6ax+b,问是否存实数a#使/(x)在[-1，2

4、上取得最大值3,最小值-29•若存在，求出a#的值，并指出函数的单调区间；若不存在，请不存在，请说明理由.2解：显然QHO,f(x)=3ax-12ax=3ax(x-4)令/(x)=0,得x1=0,X2=4(舍去)，由图1知,当%G(-1,0)图时,x(x-4)>0当xG(0,2)时x(x-4)<0,于是1(1)当d>o时，若xe(-l,0),则f(x)〉O,/(x)为增函数；若xe(0,2),则f(x)vO,/(x)为减函数.这时，有/(%)^=/(0)=&=3；而于(-1)=-7°+3,于⑵=-16

5、a+30,于⑴为增函数.这时,/«in=/(0)=&=-29；而/(2)=-16tz-29,/(-l)=-7tz-29

6、工作打下了坚实的基础.二、从方程中构建函数解题例3(1)关于兀的方程cos2x-sinx+6/=0在［0,—］上冇解，则实数。的取值范围是_。2(2)___________________________________________________________________关于x的不等式cos2x-sinx+«>0在［0,兰］上有解，则实数a的取值范围是________。2(3)关于兀的不等式cos2兀-sin兀+d、0在［0,—］上怛成立，则实数a的取值范帼是—o2解：(1)由cos2x-sinx+tz=0得a=-cos2x+sinx,令f(x)=-cos2

7、x+sinx^］571/(x)=sin2x+sinx-1=(sinx+—)2-—,乂xe［0,—］,得sinXE［0,1］,于是/(x)e［-l,l］,得实数a的取值范围是［-1,1］.TT⑵山(1)知ah/(兀)在［0,—］上有解，得a>/(x)^=-1,得实数a的取值范围是［T,+oo).TT(3)由(1)知alf(x)在［0,—］上恒成立，得a>f(x)^=l9得实数a的取值范围是［l,+oo).2三、同时构建函数与方程解题例4(2005华南师人附屮测试题)已知两数/(X)=lnx,g(x)=兀.X—1(I)若X>1,求证:f(x)>2g(——)；X+1(II)2

8、是否存在实数匕使方程*g(〒)一f(l+X)=k有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围;若不存在，说明理由.x—12(x—1)则Fx)=丄一2(x+1)—2(%—1)(—IFX%(x+l)2解:⑴令-2g(芮由x>l,得F(x)>0，知F(x)在(1,+8)上为增函数.又F(x)在x=l处连续，得F(x)在［1,+3)上为增函数,X—1而小，得弘)>皿)=。,即/(朗〉2&(〒).(11)由原方程得討」(1+工円①，令"2,并变形得齐"吨+°②要使方程①有四个不同实根，则要方程②有两个不同正根.令X=*—£,『2in(l+f)它们的